חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/כלל השרשרת

משפט

תהי $g$ פונקציה גזירה ב־$a$ ותהי $f$ פונקציה גזירה ב־$g(a)$ .

אזי $\frac{df}{dx}(g(a))=f^{\prime }(g(a))\cdot g^{\prime }(a)$ .

הוכחה

עלינו לחשב את $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}$ .

נכפיל מונה ומכנה בביטוי $g(x)-g(a)$ ונקבל:

$$\begin{array}{cc}\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}& =\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}\cdot \underset{x\to a}{\lim }\frac{g(x)-g(a)}{g(x)-g(a)}\\ & =\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}\cdot \frac{g(x)-g(a)}{g(x)-g(a)}\\ & =\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}\cdot \frac{g(x)-g(a)}{x-a}\\ & =\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}\cdot \underset{x\to a}{\lim }\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=f^{\prime }(g(a))\cdot g^{\prime }(a)\end{array}$$

קלי קלות, האמנם?

התשובה שלילית.

ההוכחה היתה עובדת לו הנחנו כי יש סביבה $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $g(x)\ne g(a)$ .

כיון שלא עשינו כך, יתכן וקיימת נקודה $x=c$ בסביבת $a$ כך שמתקיים $g(c)=g(a)$ , ועל כן אנו לפעמים מקבלים $\frac{0}{0}$ – פעולה לא־חוקית.

לדוגמא: הפונקציה $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$ , אף שהיא גזירה בנקודה 0, בכל סביבה $\delta >0$ יש נקודה $c$ בה $f(0)=f(c)=0$ .

כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר:

$$\begin{array}{c}F(g(x))=\{\begin{array}{cc}\frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}& :g(x)\ne g(a)\\ \\ \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}& :g(x)=g(a)\end{array}\\ F(g(x))\cdot \frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}\end{array}$$

ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים – כאשר $g(x)=g(a)$ שני צדדי המשוואה מתאפסים, וכאשר $g(x)\ne g(a)$ המכנה בהגדרת $F$ מצטמצם עם המונה בשבר הימני.

כיון ש־$F$ גזירה ב־$g(a)$ אז היא רציפה שם, ומתוך אריתמטיקה של גבולות נקבל את התוצאה הרצויה.

$◼$