מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/משפט הקוסינוסים

הנוסחה

$c^2=a^2+b^2-2ab*cos\gamma$

הוכחה טריגונומטרית

הוכחה טריגונומטרית במשולש חד זווית

1. נעביר גובה לצלע c (ראו ציור משמאל). $c=a\cos (\beta )+b\cos (\alpha ).$.
   (השוויון נכון גם עבור משולש קהה זווית. שם האנך חותך את c מחוץ למשולש וקוסינוס הזווית הקהה הוא שלילי).
2. נכפיל את השוויון הקודם ב-c ונקבל: $c^2=ac\cos (\beta )+bc\cos (\alpha ).$.
3. באותו אופן מקבלים: $a^2=ac\cos (\beta )+ab\cos (\gamma )$ , $b^2=bc\cos (\alpha )+ab\cos (\gamma )$.
4. מחיבור שתי המשוואות הנ"ל נקבל: $a^2+b^2=ac\cos (\beta )+bc\cos (\alpha )+2ab\cos (\gamma )$ .
5. לאחר העברת אגפים נקבל: $ac\cos (\beta )+bc\cos (\alpha )=a^2+b^2-2ab\cos (\gamma )$.
6. לפי השלב השני בהוכחה, אגף שמאל של המשוואה האחרונה שווה ל-c ² ומתקבל משפט הקוסינוסים: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\gamma ).$.