אלגברה לינארית/מטריצה מייצגת העתקה/מציאת ווקטור בבסיס

בשלב זה אנו מכניסים וקטור מבסיס B אך יכולים לבצע רק שלב אחד. מכיוון שני אנחנו מציבים את $[t(v){]}_c$ בסיס ומצבים צעד אחד

יהיה $B,D$ בסיסים של $R$, ותהיה העתקה לינארית, $T:R^2\to R^2$ כך ש- $[T{]}_D^B=\left[\begin{array}{cc}6& -9\\ -9& 12\end{array}\right]$. כמו גם נתון $[T{]}_C^B=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& -5\end{array}\right]$ כאשר $C=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right]$ בסיס של $R^2$. מצא את $D$.

פתרון: ידוע כי $[T(v){]}_C=[T{]}_c^b*[v{]}_b$

נמצא את ווקטורי $[v{]}_b$ לפי בסיס $C=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right]$:

נתון כי $[T{]}_C^B=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& -5\end{array}\right]$ כלומר

$[T(v_1){]}_C^B=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$ ו-$[T(v_2){]}_C^B=\left[\begin{array}{c}4\\ -5\end{array}\right]$

נמצא את $t(v_1)$:

$T(v_1)=2*\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]+3*\left[\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}3\\ 15\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 21\end{array}\right]$

$T(v_2)=4*\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]-5*\left[\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ 12\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}-5\\ -25\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 13\end{array}\right]$

נמצא את ווקטורי $[v{]}_b$ לפי בסיס $D$:

נתון: $[T{]}_D^B=\left[\begin{array}{cc}6& -9\\ -9& 12\end{array}\right]$

$[T(v_1)]=\left[\begin{array}{c}6\\ -9\end{array}\right]$

$[T(v_1)]=\left[\begin{array}{c}-9\\ 12\end{array}\right]$

נבטא את $D=w_1,w_2$ על כן מתקיים ש-$t(v)$:

$t(v_1)=6w_1-9w_2=\left[\begin{array}{c}7\\ 21\end{array}\right]$

$t(v_2)=9w_1+12w_2=\left[\begin{array}{c}3\\ 13\end{array}\right]$

נפתור את מערכת המשוואות (ניתן לפרק את $w_1=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$