אלגברה לינארית/מציאת בסיס לסכום תתי מרחבים

יהי $U=\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]\in {ℝ}^4|\begin{array}{c}{x}_1+x_2-x_3=0\\ x_1-x_4=0\end{array}\end{array}$ ו-$W=\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]\in {ℝ}^4|\begin{array}{c}{x}_1+x_4=0\\ 3x_1-x_2-x_3=0\end{array}\end{array}$

• נמצא מערכת פתרונות למערכות:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 0\\ 1& 0& 0& -1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& -1& 1\end{array}\right]$ אזי מערכת הפתרונות הינה $\{\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right]t_1+\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right]t_2|t_1,t_2\in ℝ\}$ ולכן $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ בסיס.

נמצא בסיס עבור W: $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 3& -1& -1& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 3\end{array}\right]$ אזי מערכת הפתרונות הינה $\{\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right]t_1+\left[\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0\\ 1\end{array}\right]t_2|t_1,t_2\in ℝ\}$ ולכן $\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ בסיס.

• נבצע דירוג לפי שורות ל-$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& -1\\ 1& -1& -1& -3\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& -1& -1& -3\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$

קבלנו מטריצה משולשת ולכן אם נמשיך לדרג נקבל מטריצה יחידה. על כן בכל שורה ועמודה יש איבר מוביל ועל כן $\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ בסיס של סכום הוקטורים