מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ההיפרבולה/משיק להיפרבולה

ניתן למצוא את משוואתו של משיק להיפרבולה בנקודה $(x_1,y_1)$ באמצעות גזירה.

משיק להיפרבולה הקנונית

נגזור את משוואת ההיפרבולה הקנונית גזירה סתומה:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

נגזור:

$\frac{2x}{a^2}-2y\cdot \frac{y^{\prime }}{b^2}=0$

נקבל:

$y^{\prime }=\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$

נשתמש בנוסחה למציאת ישר באמצעות נקודה ושיפוע:

$y-y_1=\frac{b^2{x}_1}{a^2{y}_1}x-\frac{b^2{x}_1^2}{a^2{y}_1}$

נכפיל ב$\frac{y_1}{b^2}$:

$\frac{y_1}{b^2}y-\frac{y_1^2}{b^2}=\frac{x_1}{a^2}x-\frac{x_1^2}{a^2}$

נעביר אגפים ונשתמש בכך ש$\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1$:

$\frac{x_1}{a^2}x-\frac{y_1}{b^2}y=1$.

קיבלנו את משוואת המשיק להיפרבולה הקנונית בנקודה $(x_1,y_1)$ שעליה.

אם נרצה לחשב את המשיק באמצעות שימוש בפרמטר $x_1$ בלבד (ללא $y_1$) נשתמש בנוסחה $y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$. נגזור:

$y^{\prime }=\pm \frac{b}{a}\frac{2x}{\sqrt{x^2-a^2}}$

$y\mp \frac{b}{a}\sqrt{x_1^2-a^2}=\pm \frac{2b}{a}\frac{x_{1}x-x_1^2}{\sqrt{x_1^2-a^2}}$

$y\mp \frac{b}{a}\sqrt{x_1^2-a^2}\mp \frac{2b}{a}\frac{x_{1}x-x_1^2}{\sqrt{x_1^2-a^2}}=0$

נעשה שימוש בנוסחה זו כדי לחשב את האסימפטוטות.