הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/שיטות אינטגרציה/אינטגרציה בחלקים

משפט: יהו $f,g$ פונקציות גזירות בקטע $[a,b]$, כך ש$f(x)g^{\prime }(x)$ אינטגרבילית בקטע. אז $f^{\prime }(x)g(x)$ אינטגרבילית בקטע, ומתקיים $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx=f(x)g(x){|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx$, כאשר $h(x){|}_a^b=h(b)-h(a)$.

הוכחה

מכלל המכפלה לנגזרות נקבל $(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$, כלומר $f^{\prime }(x)g(x)=(f(x)g(x){)}^{\prime }-f(x)g^{\prime }(x)$. לפונקציה $(f(x)g(x){)}^{\prime }$ יש פונקציה קדומה $f(x)g(x)$, לכן היא אינטגרבילית, ומתקיים $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)g(x){)}^{\prime }dx=f(x)g(x){|}_a^b$. כמו כן מהנתון $f(x)g^{\prime }(x)$ אינטגרבילית, ומילינאריות האינטגרל נקבל $\underset{a}{\overset{b}{\int }}((f(x)g(x){)}^{\prime }-f(x)g^{\prime }(x))dx=f(x)g(x){|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx$. אלא שמתקיים $f^{\prime }(x)g(x)=(f(x)g(x){)}^{\prime }-f(x)g^{\prime }(x)$, לכן $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx=f(x)g(x){|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx$.