הסתברות/משתנים מקריים/פונקציות של משתנים מקריים

תבנית:מבנה תבנית

צפיפות של טרנספורמציה

כאשר מדובר בפונקציות התפלגות פשוטות, ניתן לבצע פעולות בתוך פונקצית ההתפלגות:

$F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(h(X)\le y)=\mathbb{P}(X|h(X)\le y)$

אך במקרים רבים פשוט נעדיף להעזר במשפט: תבנית:משפט

הוכחה

תהי $h(x)$ ונניח כי $h^{\prime }(x)\ne 0$.

נסתכל על פונקציית ההתפלגות:$F_Y(y)$:

$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(h(X)\le y)=P(X\le h^{-1}(y))=F_X(h^{-1}(y))$

ואם נגזור את שני האגפים לפי $y$ נקבל את התוצאה המבוקשת.

הערה: ההוכחה היתה עבור פונקציה $h$ עולה, ההוכחה זהה עבור פונקציה יורדת אך עם החלפת סימנים במקומות מסוימים.

דוגמאות

(להשלים)

צפיפות של טרנספורמציה: הכללה

הוכחה

(להשלים)

דוגמאות

(להשלים) תבנית:הסתברות