הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה

משפט

יהיו $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ טורים חיוביים. אם מתקיים $a_n\le b_n$ לכל $n$ , אזי

1. התכנסות $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ גוררת את התכנסות $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ .
2. התבדרות $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ גוררת את התבדרות $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ .

הערה: קל לראות שמספיק שיתקיים $a_n\le b_n$ רק החל ממקום מסוים בסדרה.

הוכחה

• נסמן סדרות סכומים חלקיים $A_n=\sum _{k=1}^n{a}_k,B_n=\sum _{k=1}^n{b}_k$ .

שני הטורים חיוביים, לכן סדרות הסכומים החלקיים שלהם חיוביות ומונוטוניות עולות ($S_{n+1}=S_n+a_{n+1}\ge S_n$).

אם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ מתכנס אז $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n=L$ . נתון $a_n\le b_n$ לכל $n$ , ולכן $A_n\le B_n\le L$ .

אזי $A_n$ מתכנסת כי היא [[../../גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/פונ' חסומה ומונוטונית מקבלת גבול באינסוף|סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל]].

$◼$

• אם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתבדר אז $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\mathrm{\infty }$ כי $A_n$ חיובית ומונוטונית עולה. נתון $a_n\le b_n$ לכל $n$ , ולכן $B_n\ge A_n$ .

לפיכך $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n=\mathrm{\infty }$ ומכך נובע כי הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ מתבדר.

$◼$