הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה הגבולי

משפט

יהיו $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ טורים חיוביים.

1. אם $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}\ne 0$ סופי אז $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתכנס אם ורק אם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ מתכנס.
2. אם $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=0$ אז מהתכנסות $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ נובעת התכנסות $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ .
3. אם $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\mathrm{\infty }$ אז מהתכנסות $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ נובעת התכנסות $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ .

הוכחה (1)

מהגדרת הגבול $L$ לכל $\epsilon >0$ קיים $k$ כך שלכל $n>k$ מתקיים $L-\epsilon <\frac{a_n}{b_n}<L+\epsilon$ . נקבל כי $(L-\epsilon )b_n<a_n<(L+\epsilon )b_n$ .

אם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתכנס, אז לפי [[../../טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה|מבחן ההשוואה]] $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(L-\epsilon )b_n$ מתכנס וזה כמובן אם ורק אם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ מתכנס.

אם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתבדר, אז לפי מבחן ההשוואה $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(L+\epsilon )b_n$ מתבדר וזה כמובן אם ורק אם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ מתבדר.

$◼$

הוכחה (2)

מהגדרת הגבול קיים $k$ כך שלכל $n>k$ מתקיים $|\frac{a_n}{b_n}-0|=\frac{a_n}{b_n}<1$ או $a_n<b_n$ . לכן לפי מבחן ההשוואה אם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ מתכנס אז $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתכנס.

$◼$

הוכחה (3)

מהגדרת הגבול קיים $k$ כך שלכל $n>k$ מתקיים $\frac{a_n}{b_n}>1$ או $a_n>b_n$ . לכן לפי מבחן ההשוואה אם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתכנס אז $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ מתכנס.

$◼$