הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת של סכום והפרש פונקציות

משפט

אם $f,g$ גזירות אזי נגזרות סכום והפרש הפונקציות שוות לסכום והפרש נגזרות הפונקציות.

הוכחה

נוכיח ישירות מהגדרת הנגזרת:

$$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}(f\pm g)(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)\pm g(x+h)-f(x)\mp g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)\pm g(x+h)\mp g(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\pm \frac{g(x+h)-g(x)}{h}]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\pm \underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =\frac{d}{dx}f(x)\pm \frac{d}{dx}g(x)\end{array}$$