הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/הפרש אינסופי

משפט

אם $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L,\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$ אז $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)-g(x)]=-\mathrm{\infty }$ .

הוכחה

יש להראות כי לכל $M$ קיימת $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)-g(x)<M$ .

מהגדרת הגבול הראשון לכל $\epsilon >0$ קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_1$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$ , אזי $f(x)<L+\epsilon$ .

מהגדרת הגבול השני לכל $M$ קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_2$ מתקיים $g(x)>L+\epsilon -M$ .

נבחר $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$ . לפיכך,

$$f(x)-g(x)<L+\epsilon -(L+\epsilon -M)=M$$

$◼$