הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מכפלה אינסופית

משפט

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L,\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$

• אם $L>0$ אז $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]=\mathrm{\infty }$
• אם $L<0$ אז $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]=-\mathrm{\infty }$
• אם $L=\mathrm{\infty }$ אז $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]=\mathrm{\infty }$

הוכחה

• $L>0$

מספיק להראות כי לכל $M>0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)\cdot g(x)>M$ .

קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_1$ מתקיים $f(x)>0$ , כלומר $0<\epsilon <f(x)<L+\epsilon$ . אזי $f(x)$ חיובית ומוגבלת לסביבה מנוקבת של $a$ .

לכל $M>0$ קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_2$ מתקיים $g(x)>\frac{M}{\epsilon }$ .

נבחר $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$ . לפיכך,

$$f(x)\cdot g(x)>\epsilon \cdot \frac{M}{\epsilon }=M$$

$◼$

• $L<0$

מספיק להראות כי לכל $M<0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)\cdot g(x)<M$ .

קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_1$ מתקיים $f(x)<0$ , כלומר $L-\epsilon <f(x)<-\epsilon <0$ . אזי $f(x)$ שלילית ומוגבלת לסביבה מנוקבת של $a$ .

לכל $M<0$ קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_2$ מתקיים $g(x)>-\frac{M}{\epsilon }$ .

נבחר $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$ . לפיכך,

$$f(x)\cdot g(x)<(-\epsilon )\cdot (-\frac{M}{\epsilon })=M$$

$◼$

• $L=\mathrm{\infty }$

יש להראות כי לכל $M$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)\cdot g(x)>M$ .

לכל $N$ קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_1$ מתקיים $f(x)>N$ .

לכל $M$ קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_2$ מתקיים $g(x)>\frac{M}{N}$ כאשר $N\ne 0$ .

נבחר $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$ . לפיכך,

$$f(x)\cdot g(x)>N\cdot \frac{M}{N}=M$$

$◼$