אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים אחוריים

גזירה באמצעות הפרשים אחוריים

$h{f}^{\prime }(x_i)=hDf(x_i)=\ln Ef(x_i)=\ln (1-\mathrm{\nabla }{)}^{-1}f(x_i)=$

$=-\ln (1-\mathrm{\nabla })f(x_i)=[\mathrm{\nabla }+\frac{{\mathrm{\nabla }}^2}{2}+\frac{{\mathrm{\nabla }}^3}{3}+\frac{{\mathrm{\nabla }}^4}{4}+...]f(x_i)$

בדומה לפיתוחים הנ"ל, נמצא נוסחאות מקורבות לנגזרות:

נגזרת ראשונה

קירוב לינארי:

$f^{\prime }(x_i)\approx \frac{1}{h}\mathrm{\nabla }f(x_i)=\frac{1}{h}[f(x_i)-f(x_{i-1})]$

קירוב ריבועי:

$f^{\prime }(x_i)=\frac{f(x_{i-2})-4f(x_{i-1})+3f(x_i)}{2h}$

נגזרת ראשונה בנקודת ביניים

$h{f}^{\prime }(x_0+\theta h)=hD{E}^{\theta }f(x_0)=-\ln (1-\mathrm{\nabla })(1-\mathrm{\nabla }{)}^{-\theta }f(x_0)=$

$=[\mathrm{\nabla }+\frac{{\mathrm{\nabla }}^2}{2}+\frac{2{\mathrm{\nabla }}^3}{3!}+...][1+\theta \mathrm{\nabla }+\frac{\theta (\theta +1)}{2}{\mathrm{\nabla }}^2+...]f(x_0)$

$\Rightarrow f^{\prime }(x_0+\theta h)=\frac{1}{h}[\mathrm{\nabla }+\frac{2\theta +1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2+\frac{3{\theta }^2+6\theta +2}{6}{\mathrm{\nabla }}^3+...]f(x_0)$

נגזרת שנייה

$h^2{f}^{″}(x_i)={[-\ln (1-\mathrm{\nabla })]}^2=[{\mathrm{\nabla }}^2+{\mathrm{\nabla }}^3+\frac{11}{12}{\mathrm{\nabla }}^4+\frac{5}{6}{\mathrm{\nabla }}^5+\frac{137}{180}{\mathrm{\nabla }}^6+...]f(x_i)$

$f^{″}(x_i)=\frac{1}{h^2}[f(x_{i-2})-2f(x_{i-1})+f(x_i)]$

נגזרת שנייה בנקודת ביניים

$f^{\prime }(x_0+\theta h)=\frac{1}{h^2}[\mathrm{\nabla }+\frac{{\mathrm{\nabla }}^2}{2}+\frac{2{\mathrm{\nabla }}^3}{3!}+...][\mathrm{\nabla }+\frac{2\theta +1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2+\frac{3{\theta }^2+6\theta +2}{6}{\mathrm{\nabla }}^3+...]f(x_0)$

$\Rightarrow f^{″}(x_0+\theta h)=\frac{1}{h^2}[{\mathrm{\nabla }}^2+(\theta +1){\mathrm{\nabla }}^3+\frac{6{\theta }^2+18\theta +11}{12}{\mathrm{\nabla }}^4+...]f(x_0)$