מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית השורש

פונקצית שורש מורכבת

תבנית $y=\sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}$ (הדוגמה המסובכת ביותר בבגרות לפונקצית שורש) תחום הגדרה ותנאים מקדמים $\sqrt{f(x)\ge 0}$ פונקצית שורש עם כללי גזירה: חשוב לוודא את תחום ההגדרה של כלל הפונקציות. לדוגמה כאשר הפונקציה היא $y=\sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}$ , יש לבדוק $g(x)>0$ . חיתוך עם הצירים ציר $x$ נציב $y=0$ ונפתור (לפחות) משוואה עם שורשים. ציר $y$ הצבה $x=0$ פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים: יש חיתוך - פתרון יחיד. אין חיתוך - משוואה לא-הגיונית, כמו למשל $2=0$ נקודת הקיצון גזירת הפונקציה על-פי נגזרת של פונקצית שורש, כלל הגזירה של פונקציה המוכפלת במספר קבוע, כלל הגזירה מנה של פונקציות: ${\sqrt{f(x)}}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ מציאת ערכי $x$ של הנקודות - השוואה לאפס ($f^{\prime }(x)=0$). מציאת ערכי $y$ של הנקודות - את ערכי ה-$y$ נמצא על-ידי הצבת ערכי $x$ במשוואה הפונקציה המקורית. נקודות פיתול מציאה באמצעות טבלה השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון, כלומר: נבצע גזירה. נגזרת של פונקצית שורש: ${\sqrt{f(x)}}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ נשווה נגזרת לאפס. נפתור את המשוואה. נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד לנקודת קיצון (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד". מציאה באמצעות נגזרת שניה תבנית:להשלים אסימפטוטות אנכית אם יש לנו ערך המאפס את המכנה תמיד נבנה טבלה ונבחן האם מדובר בחור או באסימפטוטה: בטבלה יהיו שבעה ערכים כשהמרכזי הוא ערך הנקודה החשודה. יש להציב שישה ערכי $x$ קרובים לתוצאה אותה קיבלנו לפני ואחרי הנקודה. לחשב את ערך $y$ של $x$ באמצעות הצבה בטבלה. לבחון את התנהגות הפונקציה: אם ערך $y$ גדל ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר באסימפטוטה. אם ערך $y$ קטן (כלומר מתכנס לנקודה) ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר בחור. פרט למצבים בהם הפונקציה אינה מוגדרת בצדו האחד של התום וגדלה בצדו השני (ר/ דוגמה שיחה שאלה 1) אופקית פתרון אפשרי באמצעות הדרך הקצרה והארוכה כאחד. נדגים את הדרך הארוכה באמצעות הפונקציה $y=2+\frac{4x}{\sqrt{x^2-9}}$ נמצא את הערכים בהם $\sqrt{f(x)}>0$ כלומר $x^2-9>0$ באמצעות פתירת אי-שוויון ממעלה שניה (הפתרון $x<-3,x>3$) נחלק את הפונקציה בנעלם עם החזקה הגדולה $y=2+\frac{\frac{4x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}}$ נבדוק עבור התחום $x>3$ (בהם ערכי $x$ חיוביים כלומר נציב $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }$) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }[2+\frac{4x}{\sqrt{x^2-9}}]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }[2+\frac{\frac{4x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}}]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }[2+\frac{4}{\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}}]=2-\frac{4}{\sqrt{1-0}}=6$ נבדוק עבור התחום $x<-3$ (בהם ערכי $x$ שליליים כלומר נציב $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }$) נכניס את הנעלם לשורש, מאחר והוא שלילי עלינו להשאיר מינוס בחוץ $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }[2+\frac{4x}{\sqrt{x^2-9}}]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }[2+\frac{\frac{4x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}}]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }[2-\frac{4}{\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}}]=2-\frac{4}{\sqrt{1-0}}=-2$ האסימפטוטות לפונקציה בתחום $x>3$ היא $x=6$ ועבור $x>-3$ היא $x=-2$ נבדוק כי האסימפטוטות אינן נחתכות עם הפונקציה על-ידי הצבת ערכיהן בפונקציה תחומי עליה וירידה נעזר בטבלה בה נציב: נקודות הקיצון החשודות על-פי סדר עולה ואת נקודות תחום ההגדרה. נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות. נציב בנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר: ערכי הנגזרת $y^{\prime }$ חיוביים - הפונקציה עולה. ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת. נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום, מקסימום, פיתול וכו'. נמצא תחומי עליה וירידה תחום שלילי וחיובי הפונקציה אינה יכולה לקבל ערכים שלילים בשל השורש (אלא אם יש חזקה).