מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/נוסחאות בגיאומטריה

נוסחאות בגיאומטריה

לרוב, בנוסחאות בגיאומטריה, משתמשים בסימונים הבאים:

• האותיות האנגליות $S$ ו-$A$ מציינות שטח.
• האות האנגלית $P$ מציינת היקף (Perimeter).
• האותיות האנגליות $a,b,c$ מציינות צלעות.
• האות האנגלית $h$ מציינת גובה לצלע (height).
• האות האנגלית $r$ מציינת רדיוס (במעגל) (radius).

מרובעים

נוסחת שטח המתאימה לכל המרובעים : מחצית מכפלת האלכסונים כפול סינוס אחת הזווית ביניהם .

הערה : כאשר האלכסונים צולבים : $\sin 90^{\circ }=1$.

כאשר האלכסונים אינם צולבים : לא חשוב איזו זווית ביניהם נבחר : כי $\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta$.

נוסחה זו מתאימה גם למרובע אמורפי ( ללא תכונות מיוחדות )

• מלבן

שטח מלבן שווה למכפלת שתי צלעות סמוכות: $S=a\cdot b$

• מקבילית

שטח מקבילית שווה למכפלת צלע בגובה היורד אליה: $S=a\cdot h_a$

• מעויין

שטח מעויין ניתן לחישוב בשתי דרכים:

1. מכפלת צלע בגובה המורד אליה (שכן מעוין הוא מקרה פרטי של מקבילית): $S=a\cdot h_a$
2. מחצית מכפלת האלכסונים: $S=\frac{h_1\cdot h_2}{2}$

• דלתון

שטח דלתון שווה למחצית מכפלת האלכסונים (מקרה פרטי של מעוין): $S=\frac{h_1\cdot h_2}{2}$

• טרפז

שטח טרפז שווה למכפלת מחצית סכום הבסיסים בגובה (האנך לשני הבסיסים): $S=\frac{1}{2}h(a+b)$

• מעגל

  שטח מעגל שווה לפאי כפול ריבוע הרדיוס: $S=\pi \cdot r^2$.

  היקפו שווה לפעמיים פאי כפול הרדיוס: $P=2*\pi *r$.

• כדור

  שטח פניו של כדור שווה לארבע פעמים פאי כפול הרדיוס בריבוע: $S=4\pi \cdot r^2$

  נפחו של כדור הוא $V=\frac{4\pi r^3}{3}$.

נוסחאות במשולשים ישרי זווית

• משפט פיתגורס:

משפט פיתגורס מגדיר את הקשר שבין צלעותיו של משולש ישר זווית: $a^2+b^2=c^2$. כאשר כאן a,b הם ניצבי המשולש ו-c הוא היתר שלו.

• משפטי אוקלידס:
  • אורך הגובה ליתר בריבוע שווה למכפלת היטלי הניצבים אחד בשני.
  • אורך אחד הניצבים בריבוע שווה למכפלת היטלו על היתר ביתר.

שטח משולש

• שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע בגובה שיורד אליה: $S=\frac{a\cdot h_a}{2}$.
• שטח משולש שווה למחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזוית שביניהם: $S=\frac{a\cdot b\cdot \sin \theta }{2}$.
• שטח משולש שווה למכפלת ריבוע צלע בסינוסי הזויות שלידו לחקל לפעמיים סינוס הזוית שמולו: $S=\frac{a^2\cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma }{2\sin \alpha }$.