מבוא לשיטות נומריות/התכנסות, קריטריון התכנסות וקצב התכנסות

התכנסות

- תכונה של פתרון שמבוצע ע"י איטרציות.

- סדרת הפתרונות $\{X^{(n)}\}$ תתכנס ל-X אם לכל $\delta >0$ קיים מספר m גדול מספיק שמקיים: $\mathrm{\forall }n>m,|X^{(n)}-X|<\delta$

- קרטיריון התכנסות של אלגוריתם דרוש מכיוון:

1) שיש שגיאות נומריות הפתרון האמיתי לא ידוע.

2) קריטריון ההתכנסות מתייחס לקרבה בין פתרונות של איטרציות עוקבות.

קריטריון ההתכנסות - האם הגענו להתכנסות או לא

אפשרויות:

• ערך הפתרון:

$|X^{(n)}-X^{(n-1)}|<{\delta }_1$ - ההפרש בין שתי איטרציות עוקבות קטן מ- ${\delta }_1$

• ערך הפונקציה:

$|f(X^{(n)})-f(X^{(n-1)})|<{\delta }_2$

• קריטריון יחסי:

$\frac{|X^{(n)}-X^{(n-1)}|}{\frac{1}{2}|X^{(n)}+X^{(n+1)}|}<{\delta }_3$

• ברירת המחדל - מספר מקסימלי של איטרציות.

קצב ההתכנסות:

$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{|{ϵ}^{(n+1)}|}{|{ϵ}^{(n)}{|}^R}=k,|{ϵ}^{(n)}=X^{(n)}-X,$

$R,k=const$

תהיה ההתכנסות כאשר:

${ϵ}^{(n)}$ - השגיאה של איטרציה n.

$R\ge 1,K<1$

• R = 1 : תהיה התכנסות לינארית.

• R = 2 : תהיה התכנסות ריבועית.