משוואות דיפרנציאליות רגילות/פתרון בעזרת פונקצית גרין

פתרון מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים ותנאי התחלה

בפרק על [[../פתרון בעזרת התמרת לפלס|פתרון מד"ר ע"י התמרת לפלס]] ראינו כי הפתרון הכללי של המד"ר

   $L_n[f(t)]=c_n{f}^{(n)}(t)+c_{n-1}{f}^{(n-1)}(t)+\cdots +c_1{f}^{\prime }(t)+c_{0}f(t)=r(t)$

נתון על-ידי:

   $f(t)={ℒ}^{-1}\left[\frac{R(s)+{\mathrm{I}}_n(s)}{c_n{s}^n+c_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +c_{1}s+c_0}\right]$

כאשר L_n הוא אופרטור דיפרנציאלי לינארי ו-I_n הוא פולינום תנאי התחלה.

פונקצית גרין המתאימה למד"ר לינארית כנ"ל מוגדרת על ידי:

   $G(t)={ℒ}^{-1}\left[\frac{1}{c_n{s}^n+c_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +c_{1}s+c_0}\right]$

כלומר פונקצית גרין היא:

1. התמרת לפלס הפוכה של אחד-חלקי הפולינום האופייני של המד"ר;
2. פונקצית התמסורת של המערכת;
3. פתרון המד"ר עבור האילוץ המסוים $r(t)=\delta (t)$, כאשר δ היא פונקצית הלם.

ניתן כעת לנסח את פתרון המד"ר במונחים של פונקצית גרין (המתאימה לאופרטור L):

   $F(s)=ℒ[G(t)]\cdot [R(s)+I_n(s)]$

תנאי התחלה הומוגניים

נניח מעתה כי פולינום ת"ה מתאפס, כלומר ת"ה הומוגניים. נכתוב את הפתרון במישור הזמן, תוך שימוש במשפט הקונבולוציה:

   $f(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}r(\tau )G(t-\tau )\mathrm{d}\tau =r(t)*G(t)$

כלומר פתרון המד"ר הוא הקונבולוציה של פונק' גרין G עם איבר האילוץ r.

ראינו לעיל כי בהינתן המד"ר מסדר n, $Lf(t)=r(t)$, עם ת"ה הומוגניים, ניתן להסתפק בפתרון הבעיה:

   $\{\begin{array}{c}LG(t)=\delta (t)\\ G^{(k)}(0)=0,\mathrm{\forall }0\le k<n\end{array}$

ולבצע קונבולוציה בין G לבין r.

חשוב להבחין כי השימוש בפונקצית הלם מכניס אי-רציפות לפתרון. נווכח בכך באמצעות הפעלת $\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{0}{\overset{ϵ}{\int }}\mathrm{d}t$ על המשואה עבור G:

   $\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{0}{\overset{ϵ}{\int }}LG\mathrm{d}t=\stackrel{\equiv 1}{\overbrace{\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{0}{\overset{ϵ}{\int }}\delta (t)\mathrm{d}t}}$

1. אגף ימין שווה ל-1 ע"פ ההגדרה של פונק' הלם.
2. מכיון ש-G חסומה, $\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{0}{\overset{ϵ}{\int }}G(t)\mathrm{d}t=0$ וגם $\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{0}{\overset{ϵ}{\int }}{G}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=0$.
3. לכן, בכתיב של סכום, מתקבל הקשר:

   $\sum _{k=2}^n\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{0}{\overset{ϵ}{\int }}{G}^{(k)}(t)\mathrm{d}t\Rightarrow \sum _{k=1}^{n-1}{G^{(k)}(t)|}_0^{0^{+}}=1$

   בדרך כלל אי-הרציפות תבוא לידי ביטוי בנגזרת ה-(n-1) בלבד.

סיכום

1. ניתן לחשב את פונקצית גרין של אופרטור דיפרנציאלי לינארי L על-ידי התמרת לפלס הפוכה של 1-חלקי הפולינום האופייני של האופרטור.
2. לאופרטורים שונים יהיו פונקציות גרין שונות.
3. אם נוכל לחשב את פונקצית גרין של האופרטור, נוכל לקבל את פתרון המד"ר המתאימה, באופן מיידי, באמצעות נוסחת הקונבולוציה.
4. בדרך כלל אי-הרציפות של פונקצית גרין תבוא לידי ביטוי בנגזרת ה-(n-1) בלבד.

תנאי התחלה אי-הומוגניים

תבנית:להשלים בעבר פתרנו בעית ת"ה אי-הומוגניים ע"י ביצוע התמרת לפלס הפוכה של ביטוי שכלל פולינום תנאי-התחלה. פולניום ת"ה המדובר נוצר מהפעלת האופרטור הדיפרנציאלי L על הפונקציה f. בפרק זה נשתמש בפונקצית גרין (עם ת"ה הומוגניים כמובן), על מנת לפתור בעיה ב-f עם ת"ה לא הומוגניים.

קישורים חיצוניים

• אינדקס של פונקציות גרין למשואות שונות:
  • אונ' נברסקה