מבוא לשיטות נומריות/אינטגרציה נומרית

הקדמה

אפשרי רק עבור אינטגרלים מסוימים (גבולות אינטגרציה נתונים). מתי:

• כאשר יש לפתור אינטגרל מסובך או כאשר לא קיים פתרון אנליטי (לדוגמא $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{-x^2}dx$ .
• העדר פונקציה קדומה.
• הפונקציה נתונה ע"י ערכים בדידים ולא כפונקציה מפורשת (כמו בניסויים לדוגמא).

שיטות

1. ניוטון-קוטס:
   • שיטת הטרפז
   • שיטת סימפסון
   • שיטות נוספות לאינטגרלים מרובים.
2. אינטגרלים מרובים:
   • שיטת אינטגרציה בסימולציה.

שיטות ניוטון-קוטס

מחליפים את הפונקציה (או הנקודות) הנתונה בקירוב פשוט יותר, ומבצעים אינטגרציה של הפונקציה המקורבת.

הקירוב נעשה ע"י אינטרפולציה פולינומיית ויש להחליט איזה עקום הכי קרוב לפונקציה המקורית.

שיטת הטרפז: ביצוע קירוב לפונקציה על ידי עקום מסדר 1 (קו ישר)

• מחלקים את הקטע [a,b] ל-n קטעים שווים.

• ככל שנגדיל את n, אז h יקטן והדיוק יגדל. $h=\frac{b-a}{n}$ - גודל הקפיצה

• שטח כל טרפז הוא:

$S=\left(\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}\right)\cdot h$

• כעת ניתן להגדיר:

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\{\text{sum of all trapezoids from}{x}_0\text{until}{x}_n\}=\sum _{k=0}^n\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}h$

• נפתח את הביטוי ונקבל ביטוי פשוט יותר:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\frac{h}{2}\sum _{k=0}^n[f(x_k)+f(x_{k+1})]$

$=\frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_2)+f(x_3)+\cdots ]$

$=\frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_n)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)]$

• השגיאה:

$E_k=-\frac{1}{12}{f}^{″}(c)\frac{(x_k-x_{k-1}{)}^2}{n^3}{x}_{k-1}\le c\le x_k$ - השגיאה בכל מקטע

$E_I=-\frac{(b-a{)}^3}{12n^2}{\overline{f}}^{″}$ - השגיאה הכוללת

ניתן לראות שהשגיאה קטנה ככל ש- n גדל.

שיטת סימפסון

ביצוע קירוב לפונקציה ע"י אינטרפולציה ריבועית (עקום מסדר 2).

• דרך כל 3 נקודות מקרבים את הפונקציה באמצעות פולינום מסדר 2 ומחשבים את האינטגרל, באמצעות שיטת לגראנז'.

• מתחת לכל קירוב 3 נקודות ו-2 קטעים, ולכן n חייב להיות זוגי.

$h=\frac{b-a}{n}$ - גודל הקפיצה

שטח כל מקטע

$S=\underset{x_k}{\overset{x_{k+2}}{\int }}f(x)dx=\underset{x_k}{\overset{x_{k+2}}{\int }}\hat{f}(x)dx$ - לפי לגראנז'

$\underset{x_k}{\overset{x_{k+2}}{\int }}=[\frac{(x-x_{k+1})(x-x_{k+2})}{(x_k-x_{k+1})(x_k-x_{k+2})}\cdot f(x_k)+\frac{(x-x_k)(x-x_{k+2})}{(x_{k+1}-x_k)(x_{k+1}-x_{k+2})}\cdot f(x_{k+1})+\frac{(x-x_k)(x-x_{k+1})}{(x_{k+2}-x_k)(x_{k+2}-x_{k+1})}\cdot f(x_{k+2})]$

בכחול - $L_0(x)$

באדום - $L_1(x)$

בירוק - $L_2(x)$

$=\frac{x_{k+2}-x_k}{6}(f(x_k)+4f(x_{k+1})+f(x_{k+2}))$

• השטח הכולל:

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\{\text{sum area of all segments}\}=\underset{a=x_0}{\overset{x_2}{\int }}\hat{f}(x)dx+\underset{x_2}{\overset{x^4}{\int }}\hat{f}(x)dx+\cdots +\underset{x_{n-2}}{\overset{x_n}{\int }}\hat{f}(x)dx$

$=\frac{h}{6}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]+\frac{h}{6}[f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)]+\cdots +\frac{h}{6}[f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)]$

$=\frac{b-a}{3n}[f(x_0)+4\sum _{k=1,3,5\dots }^{n-1}f(x_k)+2\sum _{J=2,4,6\dots }^{n-2}f(x_J)+f(x_n)]$

• השגיאה:

$E_k=-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(c)x_k\le c\le x_{k+2}$ עבור מקטע בודד

האינדקס (4) מציין נגזרת.

$E_k=-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(c)(b-a{)}^{5}a\le c\le b$ - השגיאה הכוללת

שיטות נוספות

ביצוע קירוב לפונקציה ע"י פולינום מדרגה שלישית ומעלה.

• עבור פולינום מדרגה שלישית:

$I=\frac{x_3-x_0}{8}[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)]$

4 נקודות במרווחים שווים.

אינטגרלים מרובים

אינטגרלים כפולים (לא יעיל לאינטגרלים מסדר גבוה יותר).

• כעת נדרוש $n^2$ נקודות.

$I=\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}f(x,y)dxdy$

• מספר הנקודות עולה בחזקת סדר האינטגרל: אינטגרל ב-10 ממדים ידרוש $n^{1}0$ נקודות, ולכן מאלץ אותנו ל- $10^{1}0$ חישובים ולכן לא יעיל.

שיטת האינטגרציה בסימולציה

• נגדיר: $I=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}f(x)dx=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}\frac{f(x)}{g(x)}\cdot g(x)dx$

• נבחר: $g(x)$ שתהיה פונקציית צפיפות הסתברות.

• אפשרות ל- $g(x)$ :

- התפלגות אחידה

- התפלגות משתנים אקראיים.

• יצירת מספרים אקראיים מתוך $g(x)$ , וחישוב ערכי הפונקציות $g(x),f(x)$ עבור כל מספר אקראי.

• חישוב האינטגרל באמצעות: $I=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}\frac{f(x)}{g(x)}\cdot g(x)dx=E\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]$

$I=\frac{1}{R}\sum _{k=1}^R\frac{f(x_k)}{g(x_k)}$

• הסבר: אנו מחשבים ערכים אקראיים ב- $f(x)$ בין a ל-b. אם נעשה ממוצע של כל סכומי הערכים הללו נקבל תוצאה יחסית מדויקת ל-I. הכפלת כל ערך בערך התפלגותו הסטטיסטי יוצר ממוצע משוקלל ומדויק יותר לסכום הערכים האקראיים.