מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מורכבת

הסבר

פונקציה מורכבת היא פונקציה מורכבת מפונקציה פנימית ופונקציה חיצונית. הפונקציה הפנימית מוצבת בפונקציה החיצונית. למשל, נתונות שתי פונקציות:

• פונקציה ראשונה: $u(x)=2x+1$
• פונקציה שנייה: $v(u)=u^3$

הפונקציה המורכבת תהיה הפונקציה שתיווצר מהצבת אחת הפונקציה בשנייה, במקרה שלנו, ניתן להציב את $u(x)$ בפונקציה $v(u)$ . כלומר:

• $g(x)=[u(x){]}^3$
• נציב את u:

$g(x)=[2x+1{]}^3$

קבלנו פונקציה מורכבת משתי פונקציות.

הגדרה

פונקציה מורכבת, מורכבת משתי פונקציות. באופן רשמי רושמים את הפונקציה: $y=f(g(x))=f(h)$ ואת הנגזרת שלה: $[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(h)\cdot g^{\prime }(x)$ .

תבנית זו מבלבלת המון תלמידים. לרוב הם גוזרים פונקציה מורכבת על-פי ידע נצבר ולא בשימוש בנוסחא. בכל פעם שתוצב לפנינו פונקציה מורכבת, נסמן בשתי אותיות, את שתי הפונקציות שבה, בכדי להקל על הגזירה (ככל שתתרגלו יותר, כך, תוכלו לזהות בקלות רבה יותר)

כלל הגזירה

נוסחת גזירה: $f^{\prime }(x)=v^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }$

דוגמא

נבנה פונקציה מורכבת באמצעות שתי הפונקציות הבאות, פונקציה $u(x)=(4x+4)$ ופונקציה $v(u)=u^2$ . נקבל את הפונקציה המורכבת: $g(x)=(4x+4{)}^2$

בכדי למצוא ביתר קלות את הנגזרת, קל יהיה לנו לבצע גזירה על פונקציית $u$ ופונקציית $v$ .

• $u$ - נגזרת: $u^{\prime }(x)=4$
• $v$ - נגזרת (לאחר הצבת u): $v^{\prime }(x)=2u=2(4x+4)$
  • הנגזרת של הפונקציה שהתקבלה: $g^{\prime }(x)=2(4x+4)\cdot 4$

פונקציה טריגונומטרית היא מורכבת

פונקציה טריגונומטרית היא מורכבת לכן הנגזרת של ${\sin }^2(x)$ היא

• $({\sin }^2(x){)}^{\prime }=[(\sin (x){)}^2{]}^{\prime }$
• נגזרת $u$ היא $[\sin (x){]}^{\prime }=\cos (x)$
• נגזרת $v$ היא ${\sin }^2(x)=2\sin (x)$

פתרון: $[{\sin }^2(x){]}^{\prime }=[(\sin (x){)}^2{]}^{\prime }=2\sin (x)\cos (x)$

• אוסף דוגמאות לנגזרות