מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשע"א (ניסוי)/035806/תרגיל 2

התרגיל

א. הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת אפשרית כי לכל $n$ טבעי מתקיים : $2*4+5*4^2+8*4^3+11*4^4+\cdots +(6n-1)4^{2n}=\frac{(6n-2)*4^{2n+1}+8}{3}$ ב. הראה כיצד אפשר לחשב על סמך סעיף א' את הסכום: $\begin{array}{cc}& 2*4+5*16+8*64+\cdots +26*262,144\end{array}$

נושא: אינדוקציה

מקור: [1] [2]

סעיף א'

תבנית:להשלים הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת אפשרית כי לכל $n$ טבעי מתקיים : $2*4+5*4^2+5*4^3+11*4^4+\cdots +(6n-1)4^{2n}=\frac{(6n-2)*4^{2n+1}+8}{3}$

סעיף 2

התרגיל : $2*4+5*16+8+64+\cdots +26*262,144$ - חשב את הסכום.

1. כל איבר שמפורט בתחילת האינדוקציה - חשוב ("לא סתם בזבזו דיו").
2. צריך לגלות את $n$ האיבר האחרון שמוצג בסדרה לעיל. זאת בכדי שנוכל להציב את האיבר בסכום ולגלות את ערך כל הסדרה עד אותו מספר.

הסדרה : $2*4+5*4^2+5*4^3+11*4^4+\cdots +(6n-1)4^{2n}=S$.
הסכום ($s$): $\frac{(6n-2)*4^{2n+1}+8}{3}$

1. איך מגלים את $n=26*262,144$? באמצעות חוקיות.

מציאת חוקיות

1. שמים לב שמספר האיברים המוצגים לפנינו הוא ארבע איברים (לא סתם!)
2. היחסים בין האיברים :
3. קפיצות של $+3$ כאשר איבר אחד מוכפל ב-$4^k$.
   • מעולה! $26*4^{?}$. כיוון שהמספר $26$ לא כזה רחוק מהסדרה שלנו אפשר לחשב את ה-$n$ באופן ידני : $2,5,8,11,14,17,20,23,26$. לכן, $4^{2n}=9$
4. מציבים את המספר באיבר האחרון של הסדרה $\underset{26}{\underbrace{(6n-1)}}*\underset{262,144}{\underbrace{4^{2n}}}$. מקבלים $(6n-1)=26$. פותחים את המשוואה וגלים שנתקענו!
5. מתאוששים. לא נכנעים!
6. חוזרים להתחלה - כמה איברים מוצגים בסדרה? ארבע - לא סתם!. מה עוד אפשר לומר על הסדרה? פעם איבר זוגי ופעם איבר אי זוגי.
7. אהה! הסדרה היא בעלת שתי תתי איבר. האיבר הראשון הוא $2*4+5*4^2$. לכן, הציגו ארבעה איברים, לכן, הם זוגי-אי זוגי.
8. מה עכשיו? מביטים על האיבר שלנו, הוא רק תת מספר אחד (הראשון-זוגי) ולכן נמצא את תת איבר שני $26+3=29$.
9. הפעם נשווה את המספר הנכון $(6n-1)=29$. ומכאן $n=5$. נציב אותו ב-$4^2$ ונקבל שערכו הוא $10$.
10. ממראים! $s_{1-29}-s_{29}=s_{1-26}$ (צריך בסוף להוריד את האיבר האחרון - אנחנו לא יודעים לכמה שווה $4^{2n}$ של (המספר $26$).

$\begin{array}{cc}& \frac{(6n-2)*4^{2n+1}+8}{3}\\ & \frac{(6*5-2)*4^{2*5+1}+8}{3}-29*4^{10}\\ & 39,146840-29*4^{10}=8,738,136\\ \end{array}$