מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תש"ע/035006/תרגיל 3

התרגיל

שמו כאשר $x>0$ (בבגרות הופיע רק צד ימין של הגרף) נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x^4+4x^3+2x^2-8}{x+2}$ , $x\ne -2$ בציור מוצגת סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ עבור $x\ge 0$. מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=1$ מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף $f(x)$, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-$y$ עבור $x\ge 0$ מצא את תחומי העלייה וירידה של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה) עבור כל תחום ההגדרה של הפונקציה. שאלה ב' סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור כל תחום ההגדרה שלה. נתונה הפונקציה $g(x)=|f(x)|$ סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

נושא: חקירת פונקציה, בחילוק פולינומי

מקור [1]

סעיף א'

הפונקציה המוצגת לפנינו, היא פונקציה שקשה לגזירה כיוון שגם במונה וגם במכנה שלה יש יותר משני גורמים, לכן, נעזר בחילוק פולינומי בכדי לפשט את התרגיל.

$\begin{array}{c}{x}^3\\ \underset{\_}{}\overline{2x^4+4x^3+2x^2-8}\rceil x+2& \end{array}$

עתה נכפיל את התוצאה במספר משמאל ונחסיר אותה מהמספר שבימין :
$\begin{array}{c}2x^3\\ \underset{\_}{}\overline{2x^4+4x^3+2x^2-8}\rceil x+2& \\ \underset{\_}{-2x^4+4x^3}\\ ==\end{array}$

עתה נחזור על הפעולות; נחלק שוב את החזקה הגבוה ביותר מימין בחזקה הגבוה ביותר משמאל.
$\begin{array}{c}2x^3+2x\\ \underset{\_}{}\overline{2x^4+4x^3+2x^2-8}\rceil x+2& \\ \underset{\_}{-2x^4+4x^3}\\ ==2x^2-8\end{array}$

נכפיל את התוצאה ונחסירה מהמספר מימין :
$\begin{array}{c}2x^3+2x\\ \underset{\_}{}\overline{2x^4+4x^3+2x^2-8}\rceil x+2& \\ \underset{\_}{-2x^4-4x^3}\\ ==2x^2-8\\ \underset{\_}{-2x^2-4x}\\ -4x-8\end{array}$

נחלק $-4x$ (החזקה הגדולה ביותר מימין) ב-$x$ החזקה הגדולה ביותר משמאל :
$\begin{array}{c}2x^3+2x-4\\ \underset{\_}{}\overline{2x^4+4x^3+2x^2-8}\rceil x+2& \\ \underset{\_}{-2x^4-4x^3}\\ ==2x^2-8\\ \underset{\_}{-2x^2-4x}\\ -4x-8\end{array}$

נכפיל את התוצאה $-4$ בצידו השמאלי של התרגיל $x+2$ ונקבל :
$\begin{array}{c}2x^3+2x-4\\ \underset{\_}{}\overline{2x^4+4x^3+2x^2-8}\rceil x+2& \\ \underset{\_}{-2x^4-4x^3}\\ ==2x^2-8\\ \underset{\_}{-2x^2-4x}\\ -4x-8\\ \underset{\_}{-(-4x-8)}\end{array}$

אין שארית ולכן הפתרון הוא : $2x^3+2x-4$ .