מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/משוואות טריגונומטריות/פתיחת המשוואה/משוואה מהצורה : asin(mx)+bcos(mx)=c

משוואה מהצורה: $a\sin (mx)+b\cos (mx)=c$ בפרק זה נלמד לפתרון משוואה $a\sin (mx)+b\cos (mx)=c$ . שימו לב, המשוואה שמוצגת היא לאחר העברת אגפים וסידור המשוואה, עם זאת, לא מחייב שכך תראה בתחילת התרגיל, לכן נזכור את גורמי המשוואה: פונקציית סינוס. פונקציית קוסינוס. פרמטר מספרי. בכל פעם שנתקל בשלב בו שלושת הגורמים, נקח בחשבון שניתן לפתור את המשוואה בדרך הבא שתוצג. עוד צורות של הפונקציה :תבנית:ש ${\sin }^2(x)+t\cdot \sin (x)\cos (x)-t\cdot {\cos }^2(x)=0$תבנית:ש $\sin (x)=\tan (x)$ שלבי פתרון זיהוי משוואה וסידור המשוואה. חילוק ב- $a$ (אפשר לחלק גם במקדם $b$ , על-פי תוכנית הלימודים אין צורך לדעת פעולה זאת, על אף שאין הבדלים באופן הפתרון). מוציאים את הזוית המתאימה למקדם $\frac{b}{a}$ על-ידי הפעולה $\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$תבנית:הערה. מציבים את הזוית המתאימה לפונקצית הטנגנס במקום המקדם. פותחים את הפונקציה באמצעות הזהות $\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}=\tan (\alpha )$. כופלים במכנה את אברי המשוואה. נעזרים באחת מזהויות סכום והפרש זויות תבנית:הערה עבור אחד האגפים, בכדי שבמשוואה תופיע פונקציה טריגונומטרית מסוג אחד. נעדיף להשתמש בפונקצית סינוס על-פני קוסינוס. בשלב זה אנו ממשיכים אל $c$ . יתכן כי הוא יהיה מורכב מפועלת כפל של מספר עם פונקציה טריגונומטרית, לכן, תחילה נהפוך את ה- $c$ לאבר מספרי בלבד, על-ידי הכפלתו בפונקציה. נמצא את הזוית המתאימה לפתרון המספרי (הפונקציה - בהתאם לצדה השני של המשוואה) על-ידי פעולת $\text{arc}$ עתה אפשר לפתור את התרגיל על-פי חילוק בפונקציה טריגונומטרית הערה: אם במשוואה מופיעה הפונקציה $\tan$ נהפוך את המשוואה לזהות $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ . דוגמא פתור את המשוואה הטריגונומטרית $\tan (x)+\sin (x)=2\tan (x)\sin (x)$ בתחום $0^{\circ }\le x\le 100^{\circ }$ באמצעות המשוואה $a\sin (mx)+b\cos (mx)=c$ פתרון בתרגיל מופיעה לנו כבר הפונקציה $\tan$ ולכן נעזר בזהות $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ . $\begin{array}{cc}& \tan (x)+\sin (x)=2\tan (x)\sin (x)\\ & \frac{\sin (x)}{\cos (x)}+\sin (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\cdot \sin (x)\\ & \sin (x)+\sin (x)\cos (x)=2{\sin }^2(x)\\ & \sin (x)+\sin (x)\cos (x)-2{\sin }^2(x)=0\\ & \sin (x)(1+\cos (x)-2\sin (x))=0\\ \end{array}$ $\begin{array}{cc}& 1+\cos (x)-2\sin (x)=0/-1\\ & -2\sin (x)+\cos (x)=-1/:(-1)\\ & 2\sin (x)-\cos (x)=1/:a=2\\ & \sin (x)-\frac{\cos (x)}{2}=\frac{1}{2}\\ & \{\begin{array}{c}\arctan \left(\frac{b}{a}\right)=\arctan \left(\frac{-1}{2}\right)\\ \alpha =-26.56^{\circ }\end{array}\\ & \sin (x)-\tan (26.56^{\circ })\cos (x)=\frac{1}{2}\\ & \sin (x)-\frac{\sin (26.56^{\circ })}{\cos (26.56^{\circ })}\cos (x)=\frac{1}{2}/\cdot \cos (26.56^{\circ })\\ & \cos (26.56^{\circ })\sin (x)-\sin (26.56^{\circ })\cos (x)=\frac{\cos (26.56)}{2}\\ & \{\begin{array}{c}\sin (\alpha \pm \beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )\pm \cos (\alpha )\sin (\beta )\\ \frac{\cos (26.56^{\circ })}{2}=0.45\end{array}\\ & \sin (x-26.56^{\circ })=0.45\\ & \arcsin (0.45)\Rightarrow \sin (26.74^{\circ })\\ & \sin (x-26.56^{\circ })=\sin (26.74^{\circ })/:\sin \\ & x-26.56^{\circ }=26.74^{\circ }\\ & \{\begin{array}{c}{x}_2-26.56^{\circ }=26.74^{\circ }+360^{\circ }k\\ x_2=56.12^{\circ }+360^{\circ }k\\ x_3-26.56^{\circ }=(180^{\circ }-26.56^{\circ })+360^{\circ }k\\ x_3=126.88^{\circ }+360^{\circ }k\end{array}\\ \end{array}$ $\begin{array}{cc}& \sin (x)=0\\ & x_1=180^{\circ }k\end{array}$ $1$ $0$ $-1$ $k$ $150^{\circ }$ $0^{\circ }$ $-180^{\circ }$ $x_1$ $416.12^{\circ }$ $56.12^{\circ }$ $-303.88^{\circ }$ $x_2$ $486.88^{\circ }$ $126.88^{\circ }$ $-233.12^{\circ }$ $x_3$ בתחום $0^{\circ }\le x\le 100^{\circ }$ הזוויות המתאימות הן $0^{\circ },56.12^{\circ }$ תרגול