מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ג/035303/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	סדרה מוגדרת על ידי כלל נסיגה : $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1=11\\ a_{n+1}=a_n+2n+11\end{array}\\ \end{array}$ הוכחה באינדוציה, או בכל דרך אחרת, כי כל איבר בסדרה הנמצא במקום זוגי מתחלק ב-8.
נושאים	מציאת הנוסחה הכללית של הסדרה
מקור	[1][2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

צ"ל : $\frac{a_{2n}}{8}=\mathbb{Z}$

בניית נוסחת הנסיגה

נוסחת הנסיגה של הסדרה $a_{2n}$ הינה $a_{2n+2}$, בכדי לבטא ולפרט את מרכבי הנוסחה, נפתח אותה, במצעות נוסחה הנסיגה הנתונה : $a_{n+1}=a_n+2n+11$

נמצא את האיבר $a_{2n}$ על פי נוסחת הנסיגה הנתונה: $a_{n+1}=a_n+2n+11$.
$\begin{array}{cc}& a_{n+1}=a_n+2n+11\\ & a_{n+1+n-1}=a_{n+n-1}+2(n+n-1)+11\\ & a_{2n}=a_{2n-1}+2(2n-1)+11\\ & a_{2n}=a_{2n-1}+4n-2+11\\ & a_{2n}=a_{2n-1}+4n+9\\ \end{array}$

בכדי למצוא את $a_{2n+2}$ עלינו למצוא את $a_{2n+1}$ שכן על פי נוסחת הנסיגה:
$\begin{array}{cc}& a_{n+1}=a_n+2n+11\\ & a_{n+1+n+1}=a_{n+n+1}+2(n+n+1)+11\\ & a_{2n+2}=a_{2n+1}+2(2n+1)+11\\ & a_{2n+2}=a_{2n+1}+4n+2+11\\ & a_{2n+2}=a_{2n+1}+4n+13\\ \end{array}$

לכן, נמצא את $a_{n+1}$ על פי נוסחת הנסיגה ואותו נציב בנוסחה לעיל:
$\begin{array}{cc}& a_{n+1}=a_n+2n+11\\ & a_{n+1+n}=a_{n+n}+2(n+n)+11\\ & a_{2n+1}=a_{2n}+2(n+n)+11\\ & a_{2n+1}=a_{2n}+4n+11\\ \end{array}$

ומכאן הנוסחה של $a_{2n+2}$ הינה :
$\begin{array}{cc}& a_{2n+2}=a_{2n+1}+4n+13\\ & \Rightarrow a_{2n+1}=a_{2n}+4n+11\\ & a_{2n+2}=a_{2n}+4n+11+4n+13\\ & a_{2n+2}=a_{2n}+8n+24\\ \end{array}$

אינדוקציה

האיבר הראשון : $a_1=11$

נוסחת הנסיגה: $a_{2n+2}=a_{2n}+8n+24$.
צ"ל : $\frac{a_{2k}}{8}=\mathbb{Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& \frac{a_{2n}}{8}=\frac{a_{2n-1}+4n+9}{8}\\ & \frac{a_{2*1}}{8}=\frac{a_{2*1-1}+4*1+9}{8}\\ & =\frac{a_1+4+9}{8}\\ & \Rightarrow a_1=11\\ & =\frac{11+4+9}{8}\\ & =\frac{24}{8}=3\\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{a_{2k}}{8}=\mathbb{Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \frac{a_{2(k+1)}}{8}\\ & \frac{a_{2k+2}}{8}\\ \end{array}$

על פי נוסחת הנסיגה

$\frac{a_{2k+2}}{8}=\frac{a_{2k}+8k+24}{8}$

על פי הנחת האינדוקציה

$\begin{array}{cc}& \underset{\mathbb{Z}}{\underbrace{\frac{a_{2k}}{8}}}+\frac{8k+24}{8}\\ & =\mathbb{Z}+\frac{8(k+3)}{8}\\ & =\mathbb{Z}+k+3\\ \end{array}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.