מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ג/035302/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכחה באינדוציה, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים $1+9+45+\cdots +(2n-1)*3^{n-1}=1+(n-1)3^n$ חשב את הסכום : $5*3^2+\cdots +13*3^6$
נושאים	מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית, הוצאת גורם משותף, סכום
מקור	[1] [2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{ccc}& L_{eft}:+(2*1-1)*3^{1-1}=1& 1+(1-1)3^1=1\\ & 1=1\surd \\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$1+9+45+\cdots +(2k-1)*3^{k-1}=1+(k-1)3^k$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& 1+9+45+\cdots +(2k-1)*3^{k-1}+(2(k+1)-1)*3^{(k+1)-1}=1+(k+1-1)3^{k+1}\\ & 1+9+45+\cdots +(2k-1)*3^{k-1}+(2k+1)*3^k=1+(k)*3^{k+1}\\ & \underset{1+(k-1)3^k}{\underbrace{1+9+45+\cdots +(2k-1)*3^{k-1}}}+(2k+1)*3^k=1+k*3^{k+1}\\ & 1+(k-1)3^k+(2k+1)*3^k=1+k*3^{k+1}\\ & 3^k[(k-1)+(2k+1)]=k*3^{k+1}\\ & 3^k[k-1+2k+1]=k*3^{k+1}\\ & 3^k*3*k=k*3^{k+1}\\ & 3^k*3^{k+1}=k*3^{k+1}\\ \end{array}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

חשב את הסכום : $5*3^2+\cdots +13*3^6$

כיוון שתרגיל האינדוקציה מאוד פשוטה, אפשר לגלות את ה-$n$ים ישר מהתרגיל : $1+9+45+\cdots +(2n-1)*3^{n-1}$ שווה ל-$n=3$ ול-$n=7$.
על פי סכום האינדוקציה : $1+(n-1)3^n$, כלומר עלינו לבצע $S_{1-13}-S_{1-2}$. (אנו מחשיביפ עד $n=2$ כיוון שאנו רוצים לכלול את סכום האיב במקום הפענוח נכשל (פונקציה "\n" לא מוכרת): {\displaystyle \n=3} )

$\begin{array}{cc}& S_7=1+(7-1)3^7=13123\\ -\\ & \underset{\_}{S_2=1+(2-1)*3^2=10}\\ & S_{5-7}=13,113\\ \end{array}$