מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ד/035303/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	סדרה מוגדרת על ידי כלל נסיגה : $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{1}{2}\\ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\end{array}\\ \end{array}$ הוכחה באינדוציה, או בכל דרך אחרת, כי כל $n$ טבעי מתקיים : $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{(n+1{)}^2}<a_n$
נושאים	מציאת הנוסחה הכללית של הסדרה, אי שיוויון
מקור	[1] [2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

מציאת $an$

נמצא את הנוסחה הכללית לאיבר $an$ באמצעות הנוסחה של האיבר $a_{n+1}$: ומכאן הנוסחה של $a_{2n+2}$ הינה :
$\begin{array}{cc}& a_1=\frac{1}{2}\\ & a_2=a_1+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{(1+1)(1+2)}=\frac{2}{3}\\ & a_3=a_2+\frac{1}{(2+1)(2+2)}=\frac{3}{4}\\ \end{array}$

כלומ הסדרה הינה : $\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots$, כלומר הנוסחה של האיבר הכללי (אותה ניתן לראות בעין) הינה : $a_n=\frac{n}{n+1}$ (הסדרה היא סדרה הנדסית).

אינדוקציה

האיבר הראשון : $a_1=\frac{1}{2}$

נוסחת הנסיגה: $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
צ"ל :$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{(n+1{)}^2}<\frac{n}{n+1}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L:\frac{1}{(n+1{)}^2}=\frac{1}{(1+1{)}^2}=\frac{1}{2}\\ & R:\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{(k+1{)}^2}<\frac{k}{k+1}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{(k+1{)}^2}+\frac{1}{(k+2{)}^2}<\frac{k+1}{k+2}\\ & \underset{enougth:\frac{k}{k+1}}{\underbrace{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{(k+1{)}^2}}}+\frac{1}{(k+2{)}^2}<\frac{k+1}{k+2}\\ & \frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+2{)}^2}<\frac{k+1}{k+2}\\ & k(k+2{)}^2+k+1<(k+1)(k+1)(k+2)\\ & k(k^2+4k+4)+k+1<(k^2+2k+1)(k+2)\\ & k^3+4k^2+4k+k+1<k^3+2k^2+2k^2+4k+k+2\\ & 1<2\\ \end{array}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.