מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035303/תרגיל 2

טוען את הטאבים...

תרגיל	סדרה מוגדרת לכל $n$ טבעי על ידי הכלל : $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1=c\\ a_n+a_{n+1}=4n\end{array}\\ \end{array}$ הראה שהאיברים הנמצאים במקומות האי זוגיים בסדרה מהווים סדרה חשבונית, וגם האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה מהווים סדרה חשבונית. הוכח כי סכום $2n$ האיברים הראשוניים של הסדה ($S_{2n}$) אינו תלוי ב-$c$. מצא עבור איזה ערך של $c$ סדרת האיברים במקומות האי זוגיים זהה לסדרת האיברים במקומות הזוגיים (שתי הסדרות מתלכדות).
נושאים	סדרות
מקור	[1]

1

90%

#AAAAAA

center

א

נראה כי עבור כל $n>2$ מתקיים $a_n-a_{n-2}=d$ עם $d$ קבוע (למעשה, כך נראה כי הן האיברים שבמקומות הזוגיים והן האיברים שבמקומות האי זוגיים הם סדרה חשבונית עם אותו הפרש).

מנוסחת הנסיגה נובע שמתקיים הקשר:

• $a_{n+1}=4n-a_n$

על כן:

• $a_n-a_{n-2}=4(n-1)-a_{n-1}-a_{n-2}=4n-4-(4(n-2)-a_{n-2})-a_{n-2}=4n-4-4(n-2)+a_{n-2}-a_{n-2}=4n-4-4n+8=4$

ולכן קיבלנו שתי סדרות חשבוניות, עם קבוע $d=4$ עבור שתיהן.

ב

נסמן בתור $b_1,b_2,\dots$ את סדרת האיברים במקומות האי זוגיים, ובתור $c_1,c_2,\dots$ את סדרת האיברים במקומות הזוגיים, אז $b_1=a_1=c$, ואילו $c_1=a_2=4-a_1=4-c$.

נמצא את הסכום של $n$ האיברים הראשונים של כל סדרה בנפרד, ואז $S_{2n}$ הוא סכום שני הסכומים הללו.

סכום הסדרה $b_n$ הוא:

• $S_b=\frac{n}{2}(2b_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(2c+4n-4)$

וסכום הסדרה $c_n$ הוא:

• $S_c=\frac{n}{2}(2c_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(8-2c+4n-4)$

ולכן הסכום הכולל הוא:

• $S_{2n}=S_b+S_c=\frac{n}{2}((2c+4n-4)+(8-2c+4n-4))=\frac{n}{2}(8n)=4n^2$

וסכום זה אינו תלוי ב-$c$

ג

ראינו כבר כי ההפרש של הסדרות $b_n,c_n$ זהה. לכן די למצוא עבור איזה $c$ יש להן אותו איבר ראשון. כלומר, צריך להתקיים

• $b_1=c_1$

ומכאן נקבל את המשוואה

• $4-c=c$

שפתרונה הוא

• $c=2$