מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035306/תרגיל 4

טוען את הטאבים...

תרגיל	נתונה הפוקציה : $f(x)=a{\sin }^{3}x-3b\sin x$ בתחום $0\le x\le \pi$. ישר, משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=\frac{\pi }{6}$ מקביל לצי ה-$x$. הרא כי $a=4b$. נתון : $b>0$. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ בתחום הנתון (הבע באמצעות $b$ לפי הצוך), וקבע את סוגן.
מקור	[1]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

א

הנתון על כך שהישר המשיק בנקודה $x=\frac{\pi }{6}$ מקביל לציר $x$ משמעותו שהנגזרת של $f(x)$ באותה נקודה היא 0. נגזור אם כן את הפונקציה ונקבל:

• $f^{\prime }(x)=3a\cos (x){\sin }^2(x)-3b\cos (x)$

נזכור כי ידוע שמתקיים:

• $\sin (\pi /6)=1/2$

נציב את הנקודה שבה נתון המשיק:

• $0=f^{\prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)=3a\cos \left(\frac{\pi }{6}\right){\sin }^2\left(\frac{\pi }{6}\right)-3b\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)=3\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)(\frac{1}{4}a-b)$

כלומר, מכיוון ש-$\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)\ne 0$ קיבלנו:

• $\frac{1}{4}a-b=0$

כלומר

• $a=4b$

כפי שנדרשנו להוכיח.

ב

נקודות הקיצון של הפונקציה יכולות להתקבל רק כאשר $f^{\prime }(x)=0$. בסעיף שעבר חישבנו את הנגזרת וקיבלנו (אחרי הצבה $a=4b$):

• $f^{\prime }(x)=3b\cos (x)(4{\sin }^2(x)-1)$

כלומר, כדי שיתקיים $f^{\prime }(x)=0$ צריך להתקיים אחד משני תנאים:

• $\cos (x)=0$
• $4{\sin }^2(x)=1$

בתחום $0\le x\le \pi$, התנאי הראשון מתקיים רק עבור $x=\frac{\pi }{2}$.

נפשט את המשוואה עבור התנאי השני על ידי הוצאת שורש והעברת אגפים ונקבל:

• $\sin (x)=\pm \frac{1}{2}$

זה מתקיים בתחום הנתון עבור $x=\frac{\pi }{6}$ (שכבר ראינו בסעיף הקודם) ועבור $x=\frac{5\pi }{6}$.

נציב את הנקודות בפונקציה המקורית, ונקבל:

• $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=4b-3b=b$
• $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=4b\cdot \frac{1}{8}-3b\cdot \frac{1}{2}=\frac{-2b}{2}=-b$
• $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=4b\cdot \frac{1}{8}-3b\cdot \frac{1}{2}=\frac{-2b}{2}=-b$

לכן שלוש הנקודות החשודות הן הנקודות $(\frac{\pi }{2},b),(\frac{\pi }{6},-b),(\frac{5\pi }{6},-b)$

כדי לבדוק את סוג הנקודות, נגזור שוב לקבלת הנגזרת השנייה:

• $f^{″}(x)=-3b\sin (x)(4{\sin }^2(x)-1)+3b\cos (x)(8\cos (x)\sin (x))=3b\sin (x)(1-4{\sin }^2(x)+8{\cos }^2(x))$

נציב את הנקודות שמצאנו, ונקבל:

• $f^{″}\left(\frac{\pi }{2}\right)=3b(1-4)=-9b<0$
• $f^{″}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3}{2}b(1-4\frac{1}{4}+8\frac{3}{4})=\frac{3}{2}b(1-1+6)=9b>0$
• $f^{″}\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{3}{2}b(1-4\frac{1}{4}+8\frac{3}{4})=\frac{3}{2}b(1-1+6)=9b>0$

ולכן $(\frac{\pi }{2},b)$ היא נקודת מקסימום, ואילו $(\frac{\pi }{6},-b),(\frac{5\pi }{6},-b)$ הן נקודות מינימום.