מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035306/תרגיל 5

טוען את הטאבים...

תרגיל	הגרפים של הפונקציות: $f(x)=-x^2+x$, $g(x)=a{x}^2$ ($a>0$) נחתכים בנקודות $M$ ו-$O$. מהנקודה $M$ הורידו אנך לצי -$x$ (ראה ציור). הבעה באמצות $a$ את שיעורי ה-$x$ של הנקודה $M$, ואת השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על ידי האנך ועל ידי ציר ה-$x$ (השטח המקווקו בציו). חשב את הערך של $a$, שעבורו השטח שהבעת בסעיף א' הוא מקסימלי
נושאים
מקור	[1]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

א

מכיוון ששיעור ה-$x$ של הנקודה $M$ הוא בדיוק הערך $x\ne 0$ עבורו $f(x)=g(x)$, הרי שכדי למצוא אותו עלינו למצוא את המשוואה הריבועית שנובעת משוויון זה:

• $a{x}^2+x^2-x=0$

כדי לפתור את המשוואה נשים לב כי מכיוון שאנו מחפשים $x\ne 0$ ניתן לחלק ב-$x$ ולקבל את המשוואה:

• $(a+1)x-1=0$

כדי לפתור את המשוואה הזו נשים לב כי נתון לנו $a>0$, מה שמבטיח כי $a+1\ne 0$ ולכן ניתן לחלק בו, כלומר:

$x=\frac{1}{a+1}$

כעת, השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, ציר ה-$x$ והאנך שיורד מ-$M$ הוא בדיוק אינטגרל הפונקציה $g(x)$ בין $0$ ובין $\frac{1}{a+1}$, כלומר:

• $S=\underset{0}{\overset{\frac{1}{a+1}}{\int }}a{x}^2={\left[\frac{a{x}^3}{3}\right]}_0^{\frac{1}{a+1}}=\frac{a}{3}\cdot {\left(\frac{1}{a+1}\right)}^3=\frac{a}{3(a+1{)}^3}$

ב

נחשוב על השטח בתור פונקציה של המשתנה $a$, ונסמן אותה בתור $S(a)=\frac{a}{3(a+1{)}^3}$. כדי למצוא מקסימום לפונקציה נגזור אותה ונקבל:

• $S^{\prime }(a)=\frac{3(a+1{)}^3-a\cdot 9(a+1{)}^2}{9(a+1{)}^6}=\frac{(a+1{)}^2(3(a+1)-9a)}{9(a+1{)}^6}=\frac{(a+1{)}^2(3-6a)}{9(a+1{)}^6}=\frac{(a+1{)}^2(1-2a)}{3(a+1{)}^6}=\frac{1-2a}{3(a+1{)}^4}$

כדי שהפונקציה תתאפס המונה חייב להתאפס, כלומר צריך להתקיים $a=\frac{1}{2}$.

כדי לבדוק האם קיבלנו נקודת מקסימום נגזור את $S$ שנית.

• $S^{″}(a)=\frac{-6(a+1{)}^4-12(1-2a)(a+1{)}^3}{9(a+1{)}^8}=-\frac{3(a+1{)}^3(2(a+1)+4(1-2a))}{9(a+1{)}^8}=-\frac{2a+2+4-8a}{3(a+1{)}^5}=$
• $=-\frac{-6a+6}{3(a+1{)}^5}=-2\left(\frac{1-a}{(a+1{)}^5}\right)$

ולאחר הצבת $a=\frac{1}{2}$ נקבל:

• $S^{″}\left(\frac{1}{2}\right)=-2\left(\frac{1-\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2}+1{)}^5}\right)<0$

כלומר, קיבלנו נקודת מקסימום, כנדרש.