תורת החישוביות/כריעות שפות/קיום שפות שאינן כריעות/ארגז חול

בחלק הקודם ראינו מספר מחלקות של שפות: הכריעות - $R$, והכריעות למחצה - $RE$ ו-$coRE$. בחלק זה נראה שאכן יש שפות במחלקות אלו. בחלק הבא, רדוקציה, נראה טכניקה כללית מאד, המראה כיצד אפשר לעתים להראות ששפה כלשהי איננה כריעה (לחלוטין או למחצה) על סמך זאת ששפה קודמת כלשהי הוכחה ככזו.

בקיום שפות לא כריעות נראה שקיימות שפות שאינן כריעות ע"י דוגמה לשפה כזו. בקיום שפות לא כריעות למחצה נראה שלמעשה יש אינספור שפות שאינן אפילו כריעות למחצה (ולכן יש אינספור שפות שאינן כריעות).

קיום שפות לא כריעות

בכריעות למחצה חיובית, ראינו את שפת בעיית העצירה, $L_{HP}$. נראה ששפה זו איננה כריעה (זו למעשה ורמאליזציה של מה שראינו בחלק המוטיווציה במבוא לספר).

נניח, על דרך השלילה, שקיימת מ"ט כריעה, העונה על השאלה האם מ"ט $M$ עוצרת על קלט $x$. נקרא למכונה זו $H$. כעת נבנה את המכונה $H^{\prime }$ באופן הבא:

1. בהנתן קידוד מ"ט $M$, המכונה קודם תריץ את $H(⟨M⟩,⟨M⟩)$, (נזכור שתמיד חלק זה עוצר, שכן הנחתנו בשלילה היא שהבעיה כריעה, וH מימוש שלה).
2. אם התשובה חיובית, אז $H^{\prime }$ תכנס ללולאה אינסופית. אחרת, היא תעצור.

כעת נקבל מצב אבסורד לגבי הריצה $H^{\prime }(⟨H^{\prime }⟩)$:

1. אם היא עוצרת, אז בהכרח $H(⟨H^{\prime }⟩,⟨H^{\prime }⟩)$ מחזירה תשובה שלילת (מפני שהיא השלב הראשון בריצת $H^{\prime }$ שכתוצאתו הוחלט לעצור). אבל לפי ההגדרה, משמעות תשובה שלילית זו היא ש$H^{\prime }(⟨H^{\prime }⟩)$ איננה עוצרת, ולכן יש סתירה.
2. אם היא איננה עוצרת, אז בהכרח $H(⟨H^{\prime }⟩,⟨H^{\prime }⟩)$ מחזירה תשובה חיובית (שוב, מפני שהיא השלב הראשון בריצת $H^{\prime }$ שכתוצאתו הוחלט להכנס ללולאה אינסופית). אבל לפי ההגדרה, משמעות תשובה חיובית זאת היא ש$H^{\prime }(⟨H^{\prime }⟩)$ עוצרת, ולכן שוב יש סתירה.

קיום שפות לא כריעות למחצה

משיקולי מניה אפשר לראות שבהכרח יש אינספור שפות שלא רק שאינן כריעות, אלא שאינן אפילו כריעות למחצה (כלומר, יש אינספור שפות ב-${\mathrm{\Sigma }}^{*}\setminus RE$.)

ראשית נראה שיש יותר שפות ממחרוזות. תבנית:טענה

בעזרת הטענה הקודמת, אפשר לראות שבהכרח ישנן שפות ב${\mathrm{\Sigma }}^{*}\setminus RE$ תבנית:הוכחה תבנית:תורת החישוביות