הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים רציפים/התפלגות אקספוננציאלית

תבנית:הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים רציפים

אינטואיטיבית, התפלגות אקספוננציאלית (התפלגות מעריכית) היא ההתפלגות עד הזמן בו יקרה משהו, במקרה שבו הזמן עד שיקרה אותו הדבר אינו תלוי בזמן שכבר חיכינו.

נשים לב שככל ש-$\lambda$ גבוה יותר, הסיכוי שנחכה זמן רב קטן.

דוגמה

נניח ש-$X\sim exp(\lambda )$. מה הסיכוי שנקבל $X\ge \lambda$?

נשים לב כי

$\mathbb{P}(X\ge \lambda )=1-\mathbb{P}(X<\lambda )=1-F_X(\lambda )=e^{-{\lambda }^2}$

.

חוסר זכרון

משתנה מקרי מעריכי הוא חסר זיכרון, כלומר לכל $s,t\ge 0$ מתקיים כי

$\mathbb{P}(X>s+t|X>s)=\mathbb{P}(X>t)$

המשמעות המילולית של תכונה זו היא כדלקמן: כשאנו ממתינים לאירוע שהזמן עד להתרחשותו מתפלג מעריכית, הזמן שחלף עד כה אינו משנה את התפלגות הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע, וזמן זה (הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע) ממשיך להתפלג מעריכית, בדיוק כאילו התחלנו להמתין זה עתה.

למעשה, מבין כל ההתפלגויות הרציפות, רק להתפלגות המעריכית תכונה זו.

ראשית נראה כי ההתפלגות המעריכית חסרת זכרון.

כעת נראה כי ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון.