הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים רציפים/התפלגות נורמלית

פעמון גאוס תקני

אינטואיטיבית, התפלגות נורמלית (התפלגות גאוסית) היא ההתפלגות של ממוצע של מ"מ אחרים תחת הנחות קלות למדי. היא אחת ההתפלגויות החשובות ביותר, ומופיעה רבות בטבע.

מתרשים הצפיפות בצד שמאל אפשר לראות שלצפיפות יש צורת פעמון. בהמשך הספר נראה כי הפרמטר $\mu$ הוא הערך שעבורו מקבל הפעמון את המקסימום, והפרמטר ${\sigma }^2$ קובע את רוחב הפעמון.

פונקציית ההתפלגות המצטברת

פונקציית ההתפלגות המצטברת מוגדרת, כבשאר המ"מ הרציפים, לפי

$F_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{f}_X(y)dy,$

ובמקרה זה,

$F_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{\frac{-(y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dy.$

למרבה הצער, אין לאינטגרל זה פתרון סגור. מה עושים, אם כן?

ראשית, נגדיר

$\mathrm{\Phi }(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-(y{)}^2}{2}}dy$

כהתפלגות המצטברת של מ"מ נורמלי תקני $X\sim N(0,1)$. נראה כי בעזרת ערכי $\varphi (x)$ אפשר לחשב את ההתפלגות המצטברת של כל מ"מ גאוסי אחר.

מהמשפט הקודם נובע כי מספיק לדעת את ערכי $\mathrm{\Phi }$ עבור ערכי $x$ שונים. מסיבה זו אפשר למצוא טבלאות של ערכי פונקציה זו. למעשה, הטבלאות מכילות לרוב רק את ערכי $\mathrm{\Phi }$ עבור ערכי $x$ לא שליליים, וזאת משום שהפונקציה $\mathrm{\Phi }$ הנה סימטרית.

תבנית:תרגיל