חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/חוקי גזירה

סכום והפרש

תבנית:עריכה הנגזרת של סכום או הפרש שתי פונקציות היא סכום או הפרש הנגזרות של שניהם

$[f(x)\pm g(x){]}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+h)\pm g(x+h)-f(x)\mp g(x)}{h}\right]=\underset{h\to 0}{\lim }[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\pm \frac{g(x+h)-g(x)}{h}]$$=\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right]\pm \underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$

מכפלה

הנגזרת של מכפלת שתי פונקציות שווה לסכום של מכפלת כל אחת בנגזרת של השנייה

$[f(x)g(x){]}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\right]=\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\right]=$

$=\underset{h\to 0}{\lim }[f(x+h)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}]+\underset{h\to 0}{\lim }[g(x)\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}]=f(x)g^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)g(x)$

מנה

הנגזרת של מנה שווה להפרש של מכפלת כל פונקציה בנגזרת של חברתה, לחלק לפונקציה שבמכנה בחזקת שתיים

$\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=[f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}]=-\frac{f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}+\frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}$

(על פי נגזרת של פונקציה רציונלית $(\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2})$ ושימוש בכלל של פונקציה מורכבת שמובא בהמשך)

פונקציה מורכבת

הנגזרת של פונקציה מורכבת שווה לנגזרת של הפונקציה החיצונית (כאשר המשתנה הוא הפונקציה הפנימית) כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית (במשתנה x)

$[f(g(x)){]}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\right]=\underset{h\to 0}{\lim }[\frac{f(g(x+h))-f(g(x)}{g(x+h)-g(x)}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}]=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$