פונקציות מרוכבות/טופולוגיה במישור

תבנית:פונקציות מרוכבות הערה: בפרק זה אין הבדל בין ${ℝ}^2$ ל־$ℂ$ , לכן ארשה לעצמי להחליף ביניהם כשיהיה צורך כדי להקל הגדרות מסוימות.

כשם שבאנליזה ממשית התעניינו בקטעים פתוחים וסגורים של הישר הממשי, באנליזה מרוכבת נתעניין בתת־קבוצות של המישור המרוכב שיש להן תכונות דומות.

קבוצות פתוחות וסגורות

באופן מתאים, ניתן להגדיר: תבנית:מבנה תבנית קל לראות מאיפה מגיעה האינטואיציה להגדרה הנ"ל. הכדור הפתוח, הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מהנקודה $z_0$ קטן יותר מ־$r$ , לא כולל. הכדור הסגור הוא האיחוד של הכדור הפתוח עם השפה של הכדור. נגדיר מתמטית את הכוונה שלנו ב"שפת הכדור": תבנית:מבנה תבנית זהו בעצם המעגל סביב $z_0$ שרדיוסו $r$ .

הקשר בין ההגדרות הנ"ל הוא כדלהלן:

$\overline{B}(z_0,r)=B(z_0,r)\cup \partial B(z_0,r)$

כעת נגיע להגדרות המרכזיות של הפרק הזה: תבנית:מבנה תבנית

שים לב: הקבוצה הריקה היא פתוחה. למרות שאפשר לנמק זאת לוגית, אפשר לראות בזה גם כסוג של קונוונציה.

קל להבחין בעובדות הבאות בנוגע לקבוצות פתוחות: תבנית:טענה למרות שתינתן ההוכחה לכך בספר זה, הקורא מתבקש לנסות להוכיח את התכונות האלו בעצמו כדי לוודא שהוא הבין את ההגדרות כראוי.

קודם הגדרנו "כדור פתוח", השאלה האם השם שנתנו לו באמת מוצדק ביחס להגדרה החדשה? הטענה הבאה תראה שכן. תבנית:טענה

האינטואיציה האנושית אומרת שאם יש משהו פתוח, אז יש גם משהו סגור. ההגדרה הבאה תראה זאת: תבנית:מבנה תבנית שים לב! קבוצות הן לא דלתות, קבוצה סגורה היא לא ההפך מקבוצה פתוחה. למשל, הקבוצה הריקה היא קבוצה פתוחה וסגורה.