מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מעגלים/נקודת החיתוך של שני מיתרים במעגל

קובץ:2chordscutf.png

שני מיתרים החותכים זה את זה

נתון:

• נקודות A, B, C, D נמצאות על מעגל.
• E נקודת החיתוך של המיתרים CD ו-AB.

צ"ל: $AE\cdot EB=DE\cdot EC$

הוכחה:תבנית:ש בנית קווי עזר המיתר $DB$ והמיתר $AC$תבנית:ש

נוכיח דמיון משולשים $\mathrm{△}ACE\cong \mathrm{△}EDB$תבנית:ש

$\mathrm{\angle }AEC=\mathrm{\angle }DEB$ זוויות קודקודיות

$\mathrm{\angle }CDB=\mathrm{\angle }CAB$ כל זוית הקפית במעגל שווה לכל זוית הקפית אחרת במעגל הנשענת על אותה קשת

$\begin{array}{cc}& \Downarrow \\ & \mathrm{△}ACE\cong \mathrm{△}EDB\\ & \frac{AE}{ED}=\frac{CE}{EB}\\ & AE\cdot EB=DE\cdot EC\\ \end{array}$