הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/אדיטיביות האינטגרל המסוים

משפט

אם $f$ אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ ואם $c\in (a,b)$ אז $f$ אינטגרבילית בקטעים $[a,b],[a,c]$ ומתקיים $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ .

הוכחה

הפונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ ולכן היא אינטגרבילית בכל קטע חלקי.

כלומר קיימים שלושת האינטגרלים $\underset{a}{\overset{b}{\int }},\underset{a}{\overset{c}{\int }},\underset{b}{\overset{c}{\int }}$

יהי $\epsilon >0$ .

לקטע $[a,c]$ קיימת חלוקה $P_1$ עבורה $S(P_1)-s(P_1)<\frac{\epsilon }{2}$ , וברור שמתקיים $s(P_1)\le \underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx\le S(P_1)$ .

קיימת גם חלוקה $P_2$ של הקטע $[c,b]$ עבורה $S(P_2)-s(P_2)<\frac{\epsilon }{2}$ , וברור גם כי $s(P_2)\le \underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le S(P_2)$ .

תהי $P=P_1\cup P_2$ שהיא חלוקה של הקטע $[a,b]$ כולו. עבורה מתקיים

$\begin{array}{cc}S(P)& =S(P_1)+S(P_2)\\ s(P)& =s(P_1)+s(P_2)\end{array}$

ונקבל כי

$$s(P)=s(P_1)+s(P_2)\le \underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le S(P_1)+S(P_2)=S(P)$$

ולכן $s(P)\le \underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le S(P)$

ונקבל כי $S(P)-s(P)<\epsilon$ .

ברור כי $s(P)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le S(P)$ , ולכן נובע כי הן הסכום $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ והן הסכום $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ נמצאים בקטע $[s(P),S(P)]$ ולכן המרחק ביניהם קטן מאורך הקטע, שהוא קטן מ־$\epsilon$ .

$$|\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|<\epsilon$$

לפיכך $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ .

$◼$