מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/חוקי הלוגריתמים

חוקי הלוגריתמים

נזכור תמיד כי לכל לוגריתמים יש תחום ההגדרה כפי שהוצג בפרק הראשון.

החוק	הנוסחה	הוכחת החוק
הגדרת הלוגריתם	$a^{b} = x \Leftrightarrow \log_{a} (x) = b$
מעבר בסיסים	במידה ונרצה לחשב לוגריתם בבסיס אחר (ראה הערות), לכל $(c > 0) a, c \neq 1$ מתקיים: $\log_{a} (b) = \frac{\log_{c} (b)}{\log_{c} (a)}$	$\begin{matrix} (1) & a^{b} = x \\ (2) & \log_{a} (x) = b \end{matrix}$ עכשיו נוציא משני האגפים של (2) לוגריתם בבסיס $c$ : $\begin{matrix} \log_{c} (a^{b}) = \log_{c} (x) \\ b \cdot \log_{c} (a) = \log_{c} (x) \\ \log_{a} (x) \cdot \log_{c} (a) = \log_{c} (x) \\ \log_{a} (x) = \frac{\log_{c} (x)}{\log_{c} (a)} \end{matrix}$
הרחבת הגדרת הלוגריתם	$a^{\log_{a} (x)} = x$	$\begin{matrix} (1) & a^{b} = x \\ (2) & \log_{a} (x) = b \end{matrix}$ נציב את (2) ב-(1) ונקבל: $a^{\log_{a} (x)} = x$
לוגריתם של מכפלת שני מספרים	$\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} (x) + \log_{a} (y)$	$\begin{matrix} (1) & a^{b} = x, a^{c} = y \\ (2) & \log_{a} (x) = b, \log_{a} (y) = c \end{matrix}$ בנוסף, נכפיל את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשניה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים: $\begin{matrix} a^{b} \cdot a^{c} = x \cdot y \\ a^{b + c} = x \cdot y \\ \log_{a} (x \cdot y) = b + c \\ \log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} (x) + \log_{a} (y) \end{matrix}$
לוגריתם של מנת שני מספרים	$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} (x) - \log_{a} (y)$	$\begin{matrix} (1) & a^{b} = x, a^{c} = y \\ (2) & \log_{a} (x) = b, \log_{a} (y) = c \end{matrix}$ בנוסף, נחלק את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשניה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים: $\begin{matrix} \frac{a^{b}}{a^{c}} = \frac{x}{y} \\ a^{b - c} = \frac{x}{y} \\ \log_{a} (\frac{x}{y}) = b - c \\ \log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} (x) - \log_{a} (y) \end{matrix}$
לוגריתם של חזקה	$\log_{a} (x^{n}) = n \cdot \log_{a} (x)$ (לא להתבלבל עם חזקה על הלוגריתם כולו $l o g_{a}^{2} x = (l o g_{a} x)^{2}$ ) בהתאם לחוקי חזקות ${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a^{\frac{n}{n}} = a$ נוכל לטעון כי $l o g_{a} (\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} l o g_{a} x$	$\begin{matrix} (1) & a^{b} = x \\ (2) & \log_{a} (x) = b \end{matrix}$ בנוסף, נעלה את שני אגפי משוואה (1) בחזקת $n$ . נקבל: $\begin{matrix} (a^{b})^{n} = x^{n} \\ a^{b n} = x^{n} \\ \log_{a} (x^{n}) = b n \\ \log_{a} (x^{n}) = n \cdot \log_{a} (x) \end{matrix}$
לוגריתם של חזקה - לא לבגרות	בהתאם לחוקי חזקות $\log_{a} b \cdot \log_{c} d = \log_{c} b \cdot \log_{a} d$ מפני שלאחר הוצאת הלוגריתמים מתקבל אותה תוצאה, $c^{\log_{c} (a b)} = a b \Leftrightarrow c^{\log_{c} a + \log_{c} b} = c^{\log_{c} a} c^{\log_{c} b} = a b$ $\log_{b^{n}} (x) = \frac{l o g x}{l o g a^{n}} = \frac{1}{n} \log_{a} (x)$ $\log_{a^{n}} (b) = \frac{\log_{a} (b)}{n}$ מתוך נוסחת המעבר וחוק כפל לוגריתמים : $\log_{a} (b) = \frac{\log_{b} (b)}{\log_{b} (a)} = \frac{1}{\log_{b} (a)}$
מספר קבוע	$\log_{a} (1) = 0$ ( $a \neq 1$ ו- $a > 0$ )
מספר קבוע	$l o g_{a} (a) = 1$ ( $a \neq 1$ ו- $a > 0$ )

על הבסיס המיוחד

e

לומדים יותר בפירוט בזמן לימודי החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

כאשר יש לפנינו לוגריתם ללא בסיס לדוגמה,

l o g 9

הכוונה ללוגריתם שבסיסו

10

כלומר

l o g_{10} 9

שימוש במחשבון

כיום יש מחשבונים מתקדמים בהם ניתן לחשב בסיס שאינו 10 אך למי שאין ניתן להעזר בנוסחת המעבר בכדי לחשב בסיס שונה מ-10. לדוגמא: $\log_{4} (7) = \frac{\log_{10} (7)}{\log_{10} (4)} = \frac{\log (7)}{\log (4)} \approx \frac{0.845}{0.602} \approx 1.40$
במחשבון קיים בסיס מובנה נוסף ללוגריתמים: $e$ . הסימון המתמטי ללוגריתם בבסיס זה הוא $\log_{e} (x) = \ln (x)$ (יש לבטא "לַאן"). לכן את אותו החישוב יכולנו לעשות באמצעות הפונקציה $\ln$ :

\log_{4} (7) = \frac{\log_{e} (7)}{\log_{e} (4)} = \frac{\ln (7)}{\ln (4)} \approx \frac{1.94}{1.38} \approx 1.40

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/חוקי הלוגריתמים

חוקי הלוגריתמים

שימוש במחשבון

תפריט ניווט

חיפוש