מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/הוכחות/משפט התיכון

נתון: $B D = D C$ , צריך להוכיח $2 A D^{2} + \frac{B C^{2}}{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .

הוכחה:

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם $∠ A B C > \frac{π}{2}$ אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, ע"פ [[../../משפט פיתגורס|משפט פיתגורס]] המורחב: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 p \cdot B C$

נעביר אגפים, ונקבל: $2 p \cdot B C = A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}$

במשולש ABD, נקבל, ע"פ [[../../משפט פיתגורס|משפט פיתגורס]] המורחב: $A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} - 2 p \cdot B D$

נציב $B D = \frac{B C}{2}$ , ונקבל: $A D^{2} = A B^{2} + \frac{B C^{2}}{4} - p \cdot B C$

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: $2 p \cdot B C = 2 A B^{2} + \frac{B C^{2}}{2} - 2 A D^{2}$

לכן, נקבל: $A B^{2} + B C^{2} - A C^{2} = 2 A B^{2} + \frac{B C^{2}}{2} - 2 A D^{2}$

לאחר העברת אגפים, נקבל: $2 A D^{2} + \frac{B C^{2}}{2} = A B^{2} + A C^{2}$