מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/תחומי הצבה והגדרה

תחומי הצבה

במערכות משוואות ואי-שוויונות, לא תמיד ניתן להציב כל מספר כנעלם או משתנה. לעיתים אנו ניצבים בפני תרגיל שבו ניתן להציב רק תת-קבוצה של המספרים הממשיים. למשל, אם קיבלנו משוואה מהסוג: $4+\frac{1}{x-5}=3$, אז אסור להציב $x=5$ מכיוון שחילוק ב-0 איננו מוגדר. במקרה זה, הקבוצה שמותר לנו להציב (שתקרא תחום ההצבה) היא הקבוצה שמכילה כל $x$ פרט ל-5. את זה מסמנים כך:

$x\ne 5$

למעשה, הסימון הזה אומר במובלע ש-$x$ אינו 5 אך יכול להיות כל אחד אחר. כלומר, מותר להציב כל מספר פרט ל-5. כדוגמה נוספת, ניקח את המשוואה:

$4+\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-9}=3$

נקבל שאסור להציב 5 או 9. כלומר הקבוצה שאסור להציב היא $\{5,9\}$, אבל אנו מתבקשים למצוא את התחום שבו מותר להציב. התחום הזה הוא המשלים של התחום בו אסור להציב. כלומר, זה כל המספרים שהם לא המספרים 5 או 9. לפי חוקי דה-מורגן אנו מקבלים שקבוצה זו היא הקבוצה שלא מכילה את 5 וגם לא את 9 (בדוק!).
על מנת למצוא את תחומי ההצבה של משוואה זו או אחרת, עלינו ראשית למצוא את הקבוצה שבה אסור לנו להציב. לקבוצה זו אנו מוצאים את המשלים וזהו כאמור תחום ההצבה.

דוגמה 1

נתונה המשוואה:

$\frac{2}{x^2-9}+\frac{1}{5-x}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: נפתור את המשוואה $x^2-9=0$ על מנת למצוא מתי השבר השמאלי במשוואה אינו מוגדר. הפתרון מתקבל מיידית, וקבוצת הפתרון היא $x_{1,2}=\pm 3$. בשבר השני כמובן אסור להציב 5, מכיוון שגם אז השבר לא מוגדר. מכאן שהקבוצה של המספרים אותם אסור לנו להציב היא הקבוצה $\{-3,3,5\}$ ומכאן שתחום ההצבה הוא: $x\ne -3$ וגם $x\ne 3$ וגם $x\ne 5$.

דוגמה 2

נושא זה ידון שוב ביתר הרחבה בפרק אי־שוויונות. נניח שנתונה המשוואה:

$\sqrt{x+5}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: לפי הגדרת השורש הריבועי במספרים הממשיים, אסור להציב בו מספרים שליליים. לכן, קבוצת ההצבה שלנו צריכה להיות כל ה-$;x$ים שמותר להציב, ולכן תחום ההצבה הוא $x\ge -5$ כפי שקל לראות (פתרון של אי-שיויונות ידון בהמשך הספר).
תשובה: תחום ההצבה המבוקש הוא $x\ge -5$.

דוגמה 3

נתונה המשוואה:

$\sqrt{x+5}-\sqrt{x-4}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: לפי הגדרת השורש הריבועי במספרים הממשיים כאמור, אסור להציב בו מספרים שליליים. לכן, קבוצת ההצבה שלנו צריכה להיות כל ה-$;x$ים שמותר להציב, כלומר תחום ההצבה הוא $x\ge -5$ וגם $x\ge 4$. שימו לב שמדובר כאן על קשר לוגי וגם בין שני התנאים אז אנו מחפשים את קבוצת החיתוך של שני התנאים. במקרה זה, ברור שאם $x\ge 4$ אז הוא גם $x\ge -5$ ואז החיתוך הוא בדיוק $x\ge 4$. והתשובה הסופית היא: תחום ההצבה הוא: $x\ge 4$.

דוגמה 4

נתונה המשוואה:

$\sqrt{x+5}-\frac{1}{\sqrt{-x-2}}=2$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: במקרה זה הפתרון הוא מעט שונה, אם כי השיטה זהה. ראשית, נבדוק מתי מותר להציב, כלומר, כאשר $x+5\ge 0$ וגם $-x-2\ge 0$ אבל יש גם את השבר, אז צריך לדרוש גם ש-$-x-2\ne 0$. זה חיתוך של כל שלושת הקבוצות הללו, כי על $x$ לקיים את כל התנאים בו זמנית. התשובה תתקבל מ: $x\ge -5$ וגם $x\le -2$ וגם $x\ne -2$ ולאחר פישוט מתקבלת התשובה הסופית: $x\ge -5$ וגם $x<-2$ ואת זה אפשר גם לכתוב כך: $-5\le x<-2$.