מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות לוגריתמיות

הגדרה

משוואות לוגריתמיות הן משוואות בהן מופיע לוגריתם. דוגמה:

${\log }_2(x)=x-5$

אופן הפתרון

1. בדיקת תחום הגדרה - ערך הלוגריתם צריך להיות גדול מאפס. במידה וקיים נעלם ואין אנו יודעים את ערכו יש לבדוק מתי ערכיו גדולים מאפס. כמו גם ערך הבסיס, במידה ומופיע בנעלם, צריך להיות גדול מאפס ושונה מאחד כפי שהוסבר בפרק הלוגריתם.
2. פתרון המשוואה הלוגריתמית - קיימים מספר אופנים לפתרון משוואות לוגריתמיות:
   • הגדרת הלוגריתם - הגדרה זו אומרת כי אם ${\log }_a(x)=b$ אז $a^b=x$ . לעתים נשתמש בהגדרה זו, על-מנת להיפטר מהלוגריתם.
   • חוקי הלוגריתמים - במקרים מסוימים משוואות לוגריתמיות תיפתרנה באמצעות חוקי הלוגריתמים.
   • הוצאת לוגריתמים משני האגפים - פעולה אפשרית במשוואות מסוג זה היא הוצאת לוגריתמים משני האגפים. על-ידי פעולה זו, יווצר משתנה אחד במשוואה.
   • מעבר מבסיס לבסיס - אם נזהה מספרים שהם חזקות של אותו המספר, נוכל להשתמש בנוסחת המעבר מבסיס לבסיס בכדי לעבור לבסיס המשותף, וכך המשוואה תפושט.
3. שלילת הפתרונות שאינן בתחום ההגדרה

דוגמאות

דוגמא א'

${\log }_3(9\cdot 3^x-2)=2+2x$

נשתמש בהגדרת הלוגריתם כדי להיפטר מהלוגירתם:

$3^{2+2x}=9\cdot 3^x-2$

כעת נשתמש בחוקי חזקות, עד לפתרון הסופי של התרגיל:

$\begin{array}{c}{3}^2\cdot 3^{2x}=9\cdot 3^x-2\\ 9\cdot (3^x{)}^2=9\cdot 3^x-2\\ 9\cdot (3^x{)}^2-9\cdot 3^x+2=0\end{array}$

נסמן $t=3^x$ :

$\begin{array}{c}9t^2-9t+2=0\\ \\ t_{1,2}=\frac{-(-9)\pm \sqrt{(-9{)}^2-4\cdot 9\cdot 2}}{2\cdot 9}=\frac{9\pm 3}{18}\\ \\ t_1=\frac{2}{3},t_2=\frac{1}{3}\end{array}$

נמצא עבור כל אחד מהפתרונות את ה- $x$ המתאים:

$\begin{array}{c}{3}^{x_1}=\frac{2}{3},3^{x_2}=\frac{1}{3}=3^{-1}\\ \\ x_1={\log }_3(2)-1,x_2=-1\end{array}$

ואלו הפתרונות.