מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/נוסחאות ויאטה

נוסחאות ויאטה

נוסחאות ויאטה הן נוסחאות המקשרות בין הפתרונות של משוואה ריבועית $a{x}^2+bx+c=0$ שיסומנו $x_1,x_2$, לבין מקדמי המשוואה.תבנית:ש הנוסחאות מאפשרות לנו לחקור את התכונות של המשוואה הריבועית, וגם לחשב בקלות את הפתרון השני במידה והפתרון הראשון נתון כבר. $$\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\end{array}$$ בנושא חקירת משוואה ריבועית נשתמש ביותר פירוט בנוסחאות ויאטה לצורך לחקירת משוואות ריבועיות הנתונות באופן פרמטרי.

הוכחה

יהיו $x_1,x_2$ הפתרונות למשוואה $a{x}^2+bx+c=0$. מתקיים כי:

$$\begin{array}{c}a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=(x-x_1)(x-x_2)\\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2\end{array}$$

ראו גם

• פתרונות לתרגילים - נוסחאות וייטה