מתמטיקה תיכונית/הסתברות/מטבע הוגן שנפל אלף פעם על עץ

נניח כי יש לנו מטבע הוגן - הסיכוי לעץ (ולפלי) הוא חצי וההטלות בלתי תלויות. הטלנו את המטבע אלף פעם ובכל ההטלות הוא נפל על עץ. מה הסיכוי לעץ בהטלה האלף ואחת?

שאלה זו היא כנראה אחת מהשאלות המבלבלות ביותר בהסתברות פופולרית.

אנחנו נענה על השאלה ונסביר את מקור הבלבול.

ראשית נחשב את הסיכוי לעץ בהטלה האלף ואחת

$P(\text{Tree in 1001 time}|\text{Tree in first 1000 times})$

$=\frac{P(\text{Tree in all 1001 times})}{P(\text{Tree in first 1000 times})}$

ידוע לנו כי ההטלות בלתי תלויות ולכן

$P(\text{Tree in all 1001 times})=P(\text{Tree in first 1000 times})*P(\text{Tree in 1001 time})$

נציב זאת בנוסחה ונקבל

$P(\text{Tree in 1001 time}|\text{Tree in first 1000 times})=\frac{P(\text{Tree in first 1000 times})*P(\text{Tree in 1001 time})}{P(\text{Tree in first 1000 times})}$

נצמצם את $P(\text{Tree in first 1000 times})$ ונקבל

$P(\text{Tree in 1001 time}|\text{Tree in first 1000 times})=P(\text{Tree in 1001 times})$

ההטלות בלתי תלויות ולכן $P(\text{Tree in 1001 times})=P(Tree)=0.5$

מכאן

$P(\text{Tree in 1001 time}|\text{Tree in first 1000 times})=P(\text{Tree in 1001 times})=P(Tree)=0.5$

ובחזרה לניתוח המילולי, הסיכוי לעץ לאחר 1,000 הטלות של עץ נשאר כרגיל, חצי, שכן ההטלות לא תלויות. התוצאה בהטלות הקודמות לא משנה את הסיכוי להטלה הבאה.

בעוד שתוצאה זו לרוב מובנת אינטואיטיבית, דווקא שלב זה גורם לאנשים להתגרד באי נוחות. איך יכול להיות שהמטבע יפול 1,001 פעמים על עץ? הלא הסיכוי לכך נמוך מאד!

אכן הסיכוי לכך נמוך מאד. אני מקווה שספר זה יעזור לכם לחשב במדוייק מה הסיכוי לכך בעזרת התפלגות בינומית. צודק גם מי שיגיד שאם ראינו מטבע שנופל אלף פעם על עץ הוא כנראה לא הוגן. זו אמירה נכונה אך לא רלוונטית לשאלתנו כי כאן נתון לנו שהמטבע הוגן.

העניין הוא שהסיכוי הנמוך לא נובע מההטלה 1,001. אנו אומרים שהמטבע נפל כבר 1,000 פעמים על עץ. זהו המאורע בעל הסיכוי הנמוך והוא כבר התרחש לפני ההטלה ה 1,001. בשל כך, אנחנו לא צריכים לכלול אותו בחישוב.

שימו לב כי לרוב מתבלבלים בשני אירועים שונים.

ב $P(\text{Tree in 1001 time}|\text{Tree in first 1000 times})$ בו אלף ההטלות הראשונות התרחשו ואנו מעוניינים בהטלה חדשה אחת.

ב $P(\text{Tree in all 1001 times})$ אף הטלה לא התרחשה ואנו מצפים ל 1,001 הטלות שכולן עץ והסיכוי לכך אכן נמוך.

ההתניה ב1,000 הטלות שכולן עץ מתנה במאורע בעל סבירות נמוכה. עדיין, בהתניה אנו עוסקים בהסתברות לאחר שהאירוע המתנה קרה ולכן לא מעניין אותנו מה הסיכוי למאורע המתנה.

הדבר דומה לשאלה "מה הסיכוי לקבלת עץ אם לסבתא היו גלגלים?" (והתשובה היא חצי) או לבדיחה על שניים שנופלים בארובה