מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035007/תרגיל 4

שאלה 4 [1]

א

נכתוב את $z_1,z_2$ במפורש: $z_1=a+bi,z_2=c+di$. מהנתון על פיו חלקים המדומה של המספרים אינו אפס, אנו למדים כי $b\ne 0,d\ne 0$.

על פי חוקי החיבור והכפל של מספרים מרוכבים נקבל:

• $z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$
• $z_1\cdot z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$

נתון ש-$z_1+z_2$ ו-$z_1\cdot z_2$ הם מספרים ממשיים, כלומר חלקם המדומה הוא אפס. מכאן נקבל את שתי המשוואות:

• $b+d=0$
• $ad+bc=0$

מהמשוואה הראשונה נסיק:

• $b=-d$

נציב זאת במשוואה השנייה ונקבל:

• $ad-cd=0$

כלומר:

• $(a-c)d=0$

כדי שמשוואה זו תתקיים, או ש-$d=0$, או ש-$a-c=0$, אבל נתון לנו כי $d\ne 0$. לכן $a-c=0$, כלומר $a=c$.

נסכם: קיבלנו $a=c,b=-d$, ולכן $z_1=a+bi,z_2=a-bi$, כלומר $z_1=\overline{z_2}$, כמבוקש.

ב

ידוע לנו האיבר הראשון בסדרה: $a_1=-i$. עלינו למצוא את מנת הסדרה $q$ ואז נוכל למצוא את $a_9$ באמצעות הנוסחה $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

נקבל:

$\frac{1-i}{-i}\cdot \frac{i}{i}=\frac{(1-i)i}{-i^2}=\frac{i-i^2}{-(-1)}=\frac{i-(-1)}{1}=i+1$

לצורך בדיקה אפשר לוודא ש-$a_2\cdot q=a_3$, ואכן $(1-i)(1+i)=1-i^2=2$.

על פי הגדרת סדרה הנדסית, $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{1-i}{-i}$. כדי למצוא את השבר נכפול מונה ומכנה ב-$i$ כדי להיפטר מהמספר המרוכב שבמכנה (השיטה הכללית להעלמת מספר מרוכב במכנה - כפל מונה ומכנה בצמוד שלו).

נקבל:

$\frac{1-i}{-i}\cdot \frac{i}{i}=\frac{(1-i)i}{-i^2}=\frac{i-i^2}{-(-1)}=\frac{i-(-1)}{1}=i+1$

לצורך בדיקה אפשר לוודא ש-$a_2\cdot q=a_3$, ואכן $(1-i)(1+i)=1-i^2=2$.

אם נציב $n=9$ בנוסחה $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ נראה כי עלינו לחשב את $q^8$. מכיוון שקל יותר לחשב חזקות בהצגה קוטבית של מספרים מרוכבים, בעזרת משפט דה-מואבר, נמצא את ההצגה הקוטבית של $q$.

הערך המוחלט של $q$ הוא $|q|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

והארגומנט הוא: $\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{1}\right)={\tan }^{-1}(1)=45^{\circ }$

כלומר, קיבלנו $q=\sqrt{2}\cdot \mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{s}(45^{\circ })$.

על פי נוסחת דה-מואבר נקבל: $q^8={\sqrt{2}}^8\cdot \mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{s}(45^{\circ }\cdot 8)=2^4\cdot \mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{s}(360^{\circ })=16\cdot \mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}(0^{\circ })$

כלומר, קיבלנו $q^8=16$.

לכן $a_9=a_1\cdot q^8=-i\cdot 16=-16i$.