מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035007/תרגיל 5

שאלה 5 [1]

נוכל לחשב את $S_2$ באופן ישיר באמצעות אינטגרל. באופן דומה, נוכל לחשב את $S_1+S_2$ באמצעות אינטגרל נוסף, ומכיוון שנתון כי $S_1=S_2$, נקבל את $2S_2$ באמצעות החישוב הזה.

חישוב $S_2$:

• $S_2=\underset{0}{\overset{a}{\int }}{e}^{-ax}dx={[-\frac{e^{-ax}}{a}]}_0^a=\frac{1}{a}-\frac{e^{-a^2}}{a}=\frac{1-e^{-a^2}}{a}$

חישוב $S_1+S_2$:

• $S_1+S_2=\underset{0}{\overset{a}{\int }}{e}^{ax}dx={\left[\frac{e^{ax}}{a}\right]}_0^a=\frac{e^{a^2}}{a}-\frac{1}{a}=\frac{e^{a^2}-1}{a}$

מכיוון ש-$2\cdot S_2=S_1+S_2$ נקבל:

• $\frac{2-2e^{-a^2}}{a}=\frac{e^{a^2}-1}{a}$

כלומר:

• $2-2e^{-a^2}=e^{a^2}-1$

נעביר אגפים:

• $e^{a^2}-3+2e^{-a^2}=0$

כדי לפתור את המשוואה הזו נשתמש בשיטה דומה לזו של פתרון משוואות ממעלה שנייה:

נסמן $t=e^{a^2}$ ונקבל:

• $t-3+2t^{-1}=0$

נכפול ב-$t$ את שני האגפים ונקבל:

• $t^2-3t+2=0$

נפתור את המשוואה הריבועית הזו ונקבל:

• $t_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm 1}{2}$

ולכן קיבלנו שני פתרונות אפשריים:

• $t_1=1,t_2=2$

מהפתרון הראשון נקבל:

• $e^{a^2}=1$

ניקח לוגריתם של שני האגפים ונקבל

• $a^2=\ln (1)=0$

אבל נתון לנו $a>0$, לכן נבדוק מה נקבל מהפתרון השני:

• $e^{a^2}=2$

ניקח לוגריתם של שני האגפים ונקבל

• $a^2=\ln (2)$

כלומר, הפתרון הוא:

• $a=\sqrt{\ln (2)}$