מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/אינדוקציה על תכונות התחלקות

אינדוקציות של תכונות התחלקות

בתכונות התחלקות, צריך להוכיח שביטוי מסוים מתחלק במספר קבוע ללא שארית. הטריק באינדוקציות מהסוג הזה, הוא לשחק עם המספרים כך שיתקבל ביטוי שכולל את הנחת האינדוקציה וביטוי נוסף שלגביו צריך להוכיח שהחילוק שלו במספר הנתון ייתן מספר שלם.

כמו-כן, רוב הזמן צריך לפרק מספרים או ביטויים כך שיתקבל ביטוי שיכלול את הנחת האינדוקציה.

על-מנת להבין איך כדאי להתמודד עם סוג כזה של אינדוקציות, נביט על הטענה הבאה:

לכל $n$ טבעי, הביטוי $5^n-1$ מתחלק ב- $4$ ללא שארית.

לתרגול עצמי

1. נתונה הנוסחא $a^n-1$ כאשר $a$ הוא מספר טבעי. הוכח שלכל $n$ טבעי ו- $a$ אי-זוגי, הביטוי $\frac{a^n-1}{2}$ הוא שלם.