מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הגדרת המספר e

בפרק הקודם הראינו כיצד פונקציות מערכיות מהצורה $y=a^x$ נחתכות עם ציר $y$ בנקודה $(0,1)$ כאשר $a^0=1$ .

כאשר מעבירים משיק לפונקציה $y=2^x$ בנקודת החיתוך עם ציר $y$ , שהיא $(0,1)$ , הזוית המתקבלת בין שני ישרים נחתכים, כלומר בין ציר $x$ (ששיפועו 0) לשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $(0,1)$ $y^{\prime }(0)=2^x\ln (2)=2^0\ln (2)=\ln (2)$ היא לאחר הוצאת טאנגנס $\tan (\alpha )=\frac{|\ln (2)-0|}{1+\ln (2)}=\ln (2)$ שווה $34.727^{\circ }=35^{\circ }$

קובץ:PictureFileName.jpg

כאשר מעבירים משיק לפונקציה $y=3^x$ בנקודת החיתוך עם ציר $y$, שהיא $(0,1)$ , הזוית המתקבלת בין שני ישרים נחתכים, כלומר בין ציר $x$ (ששיפועו 0) לשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $(0,1)$ $y^{\prime }(0)=3^x\ln (3)=3^0\ln (3)=\ln (3)$ , לאחר הוצאת טאנגנס $\tan (\alpha )=\frac{|\ln (3)-0|}{1+0\ln (3)}=\ln (3)$ שווה $47.69^{\circ }=48^{\circ }$

במילים אחרות, בין הפונקציה $2^x$ ל- $3^x$ קיימת פונקציה המייצרת עם ציר $x$ זוית $45^{\circ }$ . ערך הבסיס לפונקציה כזו הנו $2.718\dots$ אותו סימנו בנעלם $e$ .

חישוב המספר

הפעם נציג כיצד בפועל גילו את ערך הנקודה. הרי הנתונים שהיו להם הם משיק העובר דרך גרף הפונקציה $a^x$ בנקודה $(0,1)$ וזוית בגודל $45^{\circ }$ .

נגזור את הפונקציה ונקבל:

$\left(e^x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}$

כעת נגזור את הפונקציה בנקודה x=0 ונקבל:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{0+h}-e^0}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}$

כלומר הנגזרת של הפונקציה שווה לעצמה כפול הנגזרת בנקודה 0, שהיא 1.

נגזור פעמיים את הפונקציה:

$\left(e^x\right)=(1\cdot e^x)=e^x$

$e^x>0$ עבור כל x ולכן הפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל נקודה.

נעביר משיק בנקודה (0,1). ידוע לנו ששיפועו 1 והמספר החופשי שלו (החיתוך עם ציר הy) גם הוא 1. כלומר משוואת המשיק היא:$y=x+1$.

מכיוון שהפונקציה קעורה כלפי מעלה, הרי המשיק נמצא מתחת לפונקציה. נקבל:

$x+1<e^x$ לכל x. נציב את הפרמטרים $x=\frac{1}{n}$ ו- $x=-\frac{1}{n+1}$:

• $e^{\frac{1}{n}}>1+\frac{1}{n}\Rightarrow e>{(1+\frac{1}{n})}^n$
• $e^{-\frac{1}{n+1}}>1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\Rightarrow e<{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n+1}={(1+\frac{1}{n})}^{n+1}\Rightarrow e<{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$ (הפכנו את הסימן כי העלינו בחזקה שלילית)

משני האי-שוויונים נקבל:

${(1+\frac{1}{n})}^n<e<{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}\Rightarrow e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

אם נציב $n=1,000$ נקבל $1.001^{1000}<e<1,001^{1001}\Rightarrow 2.7169239322...<e<2.7196408568...\Rightarrow e\approx 2.71$