מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות עם שני נעלמים

מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים

דרך הפתרון של מערכת משוואות לוגריתמיות זהה לדרך הפתרון של משוואה לוגריתמית בנעלם אחד. ההבדל היחיד הוא, שבמערכת משוואות קיים צורך לבודד את אחד המשתנים. נראה כאן דוגמה:

{\begin{matrix} (I) & 4^{x} + 2 y & = & 16 \\ (I I) & 1 6^{x} - 3 y & = & - 2 \end{matrix}

ניתן לשים לב, כי $1 6^{x} = (4^{2})^{x} = (4^{x})^{2}$ . לכן נסמן $t = 4^{x}$ .

{\begin{matrix} (I) & t + 2 y & = & 16 \\ (I I) & t^{2} - 3 y & = & - 2 \end{matrix}

כעת נפתור את המערכת, כמו מערכת רגילה- נחלץ ממשוואה (1) את $t$ :

t = 16 - 2 y

נציב את מה שקיבלנו ממשוואה (1), בתוך משוואה (2):

$\begin{matrix} (16 - 2 y)^{2} - 3 y = - 2 \\ 256 - 64 y + 4 y^{2} - 3 y = - 2 \\ 4 y^{2} - 67 y + 256 = - 2 \\ 4 y^{2} - 67 y + 258 = 0 \\ y_{1, 2} = \frac{67 \pm 19}{8} \\ y_{1} = 10.75, y_{2} = 6 \end{matrix}$

כעת, נבדוק עבור ערכי $y$ שקיבלנו, למה שווה $t$ , ונמצא את ערך $x$ המתאים.

עבור $y_{1} = 10.75$

\begin{matrix} t_{1} = 16 - 2 y_{1} = 16 - 2 \cdot 10.75 = - 5.5 \\ t_{1} = 4^{x_{1}} = - 5.5 \end{matrix}

תוצאת חזקה של מספר חיובי תמיד חיובית, לכן $y_{1} = 10.75$ אינו פתרון למערכת.

עבור $y_{2} = 6$

\begin{matrix} t_{2} = 16 - 2 y_{2} = 16 - 2 \cdot 6 = 4 \\ t_{2} = 4^{x_{2}} = 4 \\ x_{2} = 1 \end{matrix}

וזהו הפתרון היחיד למערכת המשוואות: $(1, 6)$ .

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות עם שני נעלמים

מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים

תפריט ניווט

חיפוש