מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ח/035007/תרגיל 5

טוען את הטאבים...

תרגיל	נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}+4e^x+3}{(e^x-3{)}^2}$ מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את האסימפטוטות של הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). נמק מצא את נקודות החיתוך עם הצירים. מצא את תחומי העליה והירידה של הפונקציה. נמק על פי תשובותיך לסעיפים א-ד, סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
נושא	פונקציה מעריכית, משוואה מעריכית
מקור	[1]

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

סעיף א

נפתור את המשוואה המעריכית $e^x-3\ne 0$ ונקבל $e^x\ne 3$

נחלץ את הנעלם $x$ באמצעות פעולה לוגריתמית ונקבל $x\ne ln3$

סעיף ב

אסימפטוטה אנכית: פתרנו בסעיף הקודם והיא $x=ln3=1.1$.

בדיקה שלא מדובר בחור עבור הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}+4e^x+3}{(e^x-3{)}^2}$

$2$	$1.5$	$1.2$	1	$-1.2$	$-1.5$	$-2$	$x$
4.524	18.68	266.442	גבול חשוד	0.589	0.511	0.433	$y$

מאחר שערך ה-y גדל ככל שמתקרבים לנקודה מדובר באסימפטוטה.

לחילופין ניתן לבצע בדיקה על ידי הצבה: $f(x)=\frac{e^{2*ln3}+4e^{ln3}+3}{(e^{ln3}-3{)}^2}=\frac{9+12+3}{0}$ מאחר שהמונה אינו מתאפס מדובר באסימפטוטה.

אסימפטוטה אופקית: נעזר בדרך הארוכה עבור הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}+4e^x+3}{(e^x-3{)}^2}$ ולאחר פתיחה $f(x)=\frac{e^{2x}+4e^x+3}{e^{2x}-6e^x+9}$.

עבור תחום חיובי : נחלק את הפונקציה במעריך הגדול ביותר הינו $e^{2x}$ ונקבל $f(x)=\frac{\frac{e^{2x}}{e^{2x}}+\frac{4e^x}{e^{2x}}+\frac{3}{e^{2x}}}{\frac{e^{2x}}{e^{2x}}-\frac{6e^x}{e^{2x}}+\frac{9}{e^{2x}}}$.

נצמצם ונקבל, $f(x)=\frac{1+\frac{4}{e^x}+\frac{3}{e^{2x}}}{1-\frac{6}{e^x}+\frac{9}{e^{2x}}}$.

נציב $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }$ נקבל $f(x)=\frac{1+0+0}{1-0+0}=1$.

עבור תחום שלילי: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }$ לפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}+4e^x+3}{e^{2x}-6e^x+9}$

נציב $-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }$ נקבל $f(x)=\frac{0+0+3}{0-0+9}$

פתרון סופי: $x=ln3$, עבור $1(\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }),\frac{1}{3}(\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim })$

סעיף ג

נציב $x=0$ בפונקציה $f(x)=\frac{e^0+4e^0+3}{(e^0-3{)}^2}=2$ ונקבל $(0,2)$

נציב $y=0$ בפונקציה $\frac{e^{2x}+4e^x+3}{(e^x-3{)}^2}=0$

המונה חיובי ולכן ניתן להכפילו, נקבל $e^{2x}+4e^x+3=0$

נסמן $e^x=t$ נקבל $t^2+4t+3=0$

נוציא טינורם ונקבל $(t+1)(t+3)=0$ כלומר $t_1=-1t_2=-3$

מכאן $e^x=-1$ או $e^x=-3$ אך אלו פתרונות בלתי אפשריים מפני שאין חזקה הנותנת מינוס ולכן אין נקודות חיתוך.

סעיף ד

כדי למצוא תחומי עלייה וירידה עלינו למצוא נקודות קיצון.

$y^{\prime }=\frac{(2e^{2x}+4e^x(e^x-3{)}^2)-2e^x(e^x-3)(e^{2x}+4e^x+3)}{(e^x-3{)}^4}$

נוציא גורם משותף $y^{\prime }=\frac{(e^x-3)[(2e^{2x}+4e^x(e^x-3))-2e^x(e^{2x}+4e^x+3)}{(e^x-3{)}^4}$

$y^{\prime }=\frac{(2e^{3x}-6e^{2x}+4e^{2x}-12e^x-2e^{3x}-8e^{2x}-6e^x))}{(e^x-3{)}^3}=\frac{-10e^{2x}-18e^x}{(e^x-3{)}^3}$

נוציא גורם משותף, $y^{\prime }=\frac{-(2e^x(5e^x+9)}{(e^x-3{)}^3}$

שני הביטוים במונה חיובים תמיד ולכן $-2e^x(5e^x+9)<0$ ולכן סימן הנגזרת תלויה במכנה.

המכנה חיובי כאשר $x>ln3$ ולכן המכנה בחזקת שלוש גם הוא חיובי כלומר סימן הנגזרת שלילי ולכן הפונקציה יורדת.

המכנה שלילי כאשר $x<ln3$ ולכן המכנה בחזקת שלוש גם הוא שלילי כלומר סימן הנגזרת חיובי ולכן הפונקציה עולה.