מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשס"ד/305807/תרגיל 5

טוען את הטאבים...

תרגיל	נתונה הפונקציה $f(x)=(1-e^x{)}^2$ האסימפטוטה האופקית שלה היא $y=1$ מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. הוסף לסקיצה שסרטטת בסעיף ב', סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)=e^{2x}$, ומצא את נקודת החיתוך בין שני הגרפים השטח הנמוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי ציר $y$
נושא	פונקציה מעריכית חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, הקשר בין פונקציה לגרף
מקור	(קישור למסמך המקורי)

1

תרגיל	(תוכן)
נושא
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

כיוון האסימפטוטה

$li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}(1-e^x{)}^2=(1-e^{\mathrm{\infty }}{)}^2=\mathrm{\infty }$ דהינו אין אסימפטוטה.

$li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{e^x}{)}^2=(1-\frac{1}{e^{\mathrm{\infty }}}{)}^2=(1-0)=1$

פתרון: האסימפטוטה היא $y=1$ כאשר $li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}$

סעיף א

$f^{\prime }(x)=2(1-e^x)*(-e^x)=0$ נחלק ב- $-2(e^x)$ ונקבל $(1-e^x)=0$

נפתור את שתי המשוואות ונקבל $1-e^x=0$. לאחר העברת אגפים $e^x=1$ נקבל $x=0$.

נבדוק את הנקודה החשודה וסוג הנקודה באמצעות נגזרת שנייה $y^{″}(x)=(2e^{2x}-2e^x{)}^{\prime }=4e^{2x}-2e^x$

נציב $x=0$ ונקבל $f^{″}(0)=4-2>0min$

נמצא את ערך ה-$y$ של הנקודה, $f(0)=(1-1{)}^2=0$

פתרון : $(0,0)min$

סעיף ב

נסרטט את הפונקציה $f(x)=(1-e^x{)}^2$ לפי הנתונים לעיל.

הפונקציה $y=e^{2x}$ נראת בדומה לפונקציה $y=e^x$ (פשוט חדה יותר)

1. פונקציה חיובית וציר ה- $x$ הוא אסימפטוטה אופקית שלה.
2. נקודת חיתוך $(0,1)$

סעיף ג

נשווה בין שתי הפונקציות $(1-e^x{)}^2=e^{2x}/\sqrt{}$

נפתח סוגרים, $1-2e^x+e^{2x}=e^x$

נעביר אגפים $1=2e^x$

נחלק בשתים ונקבל $e^x=\frac{1}{2}$

נפטר מהמעריכים : $x=ln\frac{1}{2}$

נמצא את ערך ה-$y$ של הנקודה ונקבל $y=f(\frac{1}{2})=(1-e^{ln0.5}{)}^2=(1-\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$ נקודת החיתוך $(ln\frac{1}{2},\frac{1}{4})$

סעיף ג, 2

$s=\underset{ln0.5}{\overset{0}{\int }}g(x)-f(x)dx=\underset{ln0.5}{\overset{0}{\int }}(e^{2x}-(1-e^x{)}^2)dx=\underset{ln0.5}{\overset{0}{\int }}(e^{2x}-1+2e^x-e^{2x})dx=\int {ln0.5}^0(2e^x-1)dx=(2e^x-x)$

נציב את הערכים: $(2e^0-0)-(2e^{ln(0.5)-ln(0.5)})=2*1-0-2*0.5+ln(0.5)=1-ln(2)=0.3069$

הוסף קטגוריה מתאימה בהתאם לקטגוריות הקיימות ב: פתרונות לבגרויות (לפי נושא) על פי הכיתוב: לפי "נושא - שאלון"