מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ה/035007/תרגיל 5

טוען את הטאבים...

תרגיל	לגרף הפונקציה $y=e^{\frac{x}{2}}$ העבירו משיק בנקודה ברביע הראשון שבה $x=t$. הביעו באמצעות $t$ את משוואת המשיק. נתון כי משיק זה חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $x=2$. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-$y$.
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	[1]

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	משיק, אינטגרלים ונגזרת של פונקצית e
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

סעיף א

הנקודה דרכה עובר המשיק היא $t$. הנקודה הזו נמצא על הפונקציה $y=e^{\frac{x}{2}}$ ולכן נציב אותה בכדי למצוא את ערך ה-$y$ שלה.

$y=e^{\frac{t}{2}}$ דהינו נקודת ההשקה $(t,e^{\frac{t}{2}})$.

נציב במשוואת הישר $y-y_1=m(x-x_1)$ ונקבל $y-e^{\frac{t}{2}}=m(x-t)$

נותר לנו למצוא את שיפוע המשיק בנקודה. השיפוע זהה לשיפוע הפונקציה באותה, ולכן נגזור את $y=e^{\frac{x}{2}}$ נקבל $y^{\prime }=\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}$ ונציב את ערך ה-$x$ של נקודת ההשקה, דהינו נגזרת הינה $y^{\prime }=\frac{1}{2}{e}^{\frac{t}{2}}$

נציב את הנגזרת במשוואת הישר: $y-e^{\frac{t}{2}}=\frac{1}{2}{e}^{\frac{t}{2}}(x-t)$

נפתח ונקבל $y=\frac{1}{2}{e}^{\frac{t}{2}}x-\frac{1}{2}{e}^{\frac{t}{2}}t+e^{\frac{t}{e^2}}$

סעיף ב

על פי נתוני השאלה, אנו יודעים כי המשיק עובר דרך הנקודה $(2,0)$ ולכן נוכל למצוא את ערך ה-$t$: $0=\frac{1}{2}{e}^{\frac{t}{2}}x-\frac{1}{2}{e}^{\frac{t}{2}}t+e^{\frac{t}{e^2}}$

נקבל $2=\frac{t}{2}$ ולסיכום $t=4$.

מכאן משואות המשיק $y=\frac{1}{2}{e}^{2}x-e^2$

עתה נמצא את האינטגרל. התחומים שלו הן בין נקודת ההשקה לבין ציר ה-$y$ והוא השטח הכלוא בין הפונקציה למשיק, דהינו השטח בין הפונקציה לציר ה-$x$ פחות השטח בין המשיק לציר ה-$x$.

$s=\underset{0}{\overset{4}{\int }}{e}^{\frac{x}{2}}-(\frac{1}{2}{e}^{2}x-e^2)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}{e}^{\frac{x}{2}}-\frac{1}{2}{e}^{2}x+e^{2}d$

נציב את התחום:${|2e^{\frac{x}{2}}-\frac{1}{4}{e}^2{x}^2+e^{2}x|}_0^4=2e^2-4e^2+4e^2-(2+0+0)=2e^2-2$