חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/אינטגרל מוכלל

אינטגרל מוכלל (או אינטגרל לא־אמיתי) הנו הכללה של האינטגרל המסוים (רימאן) לקטעים לא־חסומים ופונקציות לא־חסומות.

דוגמא

חשב את האינטגרל $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x^2}$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x^2}={[-\frac{1}{x}]}_{-1}^1=-\frac{1}{1}-(-\frac{1}{-1})=-2$

הסבר

מה קרה?! הרי הפונקציה $\frac{1}{x^2}$ הנה חיובית בכל תחום הגדרתה, ואינטואיטיבית היינו צריכים לקבל שטח חיובי. היכן טעינו?

טעינו בכמה דברים. הפונקציה לא־רציפה בקטע $[-1,1]$ וגם הגבול $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}$ לא קיים, כלומר הפונקציה אינה חסומה.

אינטגרלים מוכללים בקטעים לא-חסומים

תהי $f:[a,\mathrm{\infty })\to ℝ$ פונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,M]$ לכל $M>a$ .

נגדיר: $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{M}{\int }}f(x)dx$ בתנאי שהגבול קיים (וסופי). אם הגבול אינו קיים אזי האינטגרל מתבדר.

באופן דומה נגדיר: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-M}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=\underset{M\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{M}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

דוגמאות

דוגמא 1

חשב את האינטגרל של הפונקציה $f(x)=\frac{1}{x^2}$ בקטע $[1,\mathrm{\infty })$

הפונקציה רציפה בקטע זה, ולכן אינטגרבילית בקטע $[1,M)$ . נקבל:

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x^2}=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{M}{\int }}\frac{dx}{x^2}=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{1}{x}{|}_1^M=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }[-\frac{1}{M}+\frac{1}{1}]=1$

דוגמא 2

חשב את האינטגרל של הפונקציה $f(x)=e^{-x}$ בקטע $[0,\mathrm{\infty })$

הפונקציה רציפה על כל הישר הממשי ולכן אינטגרבילית, ובפרט בקטע $[0,M)$ . נקבל:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}dx=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{M}{\int }}{e}^{-x}dx=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }-e^{-x}{|}_0^M=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }[-e^{-M}+e^{-0}]=1$

דוגמא 3

חשב את האינטגרל של הפונקציה $f(x)=\cos (x)$ בקטע $[0,\mathrm{\infty })$

הפונקציה רציפה על כל הישר הממשי ולכן אינטגרבילית, ובפרט בקטע $[0,M)$ . נקבל:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (x)dx=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{M}{\int }}\cos (x)dx=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sin (x){|}_0^M=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\sin (M)-\sin (0)]=\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sin (M)$

אך הגבול באינסוף לא קיים, ולכן האינטגרל מתבדר.

• אם האינטגרל $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ מתכנס, אזי לכל $b>a$ מתקיים $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{b}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$
• תהי $f:ℝ\to ℝ$ פונקציה אינטגרבילית בכל קטע סגור. אם קיים $a$ עבורו $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx,\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$ מתכנסות, אזי $f$ אינטגרבילית ב־$ℝ$ ומתקיים $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)dx+\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

אינטגרלים מוכללים של פונקציות לא־חסומות

תהי $f:[a,b)\to ℝ$ פונקציה לא-חסומה.

נגדיר: אם מתקיים $f$ אינטגרבילית בקטע הסגור $[a,t]\subset [a,b)$ , אזי $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to b^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$ בתנאי שהגבול קיים.

עבור המקרה $(a,b]$ נגדיר $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{\lim }\underset{t}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ בתנאי שהגבול קיים.

אם קיימת נקודה $c\in [a,b]$ בה $f$ לא חסומה, אזי $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{t_1\to c^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{t_1}{\int }}f(x)dx+\underset{t_2\to c^{+}}{\lim }\underset{t_2}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ בתנאי שגבולות האינטגרלים בצד ימין קיימים.

דוגמאות

דוגמא 1

חשב את האינטגרל של הפונקציה $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ בקטע $(0,1]$ .

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\underset{t}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }2\sqrt{x}{|}_t^1=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }[2\sqrt{1}-2\sqrt{t}]=2$

דוגמא 2

חשב את האינטגרל של הפונקציה $f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ בקטע $[-1,1]$ .

הפונקציה לא-חסומה בקטע בסביבת $x=0$ , כלומר עלינו לחשב את האינטגרל בקטע $[1,0)\cup (0,1]$ .

$\begin{array}{cc}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}& =\underset{t_1\to 0^{-}}{\lim }\underset{-1}{\overset{t_1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}+\underset{t_2\to 0^{+}}{\lim }\underset{t_2}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}\\ & =\underset{t_1\to 0^{-}}{\lim }3\sqrt[3]{x}{|}_{-1}^{t_1}+\underset{t_2\to 0^{+}}{\lim }3\sqrt[3]{x}{|}_{t_2}^1\\ & =\underset{t_1\to 0^{-}}{\lim }[3\sqrt[3]{t_1}-3\sqrt[3]{-1}]+\underset{t_2\to 0^{+}}{\lim }[3\sqrt[3]{1}-3\sqrt[3]{t_2}]=3+3=6\end{array}$